Intero di Eisenstein

Interi di Eisenstein come punti di intersezione di un reticolo triangolare nel piano complesso

In matematica, un intero di Eisenstein, dal nome del matematico Ferdinand Eisenstein, è un numero complesso della forma:

z = a + b ω , {\displaystyle z=a+b\omega ,}

dove a e b sono numeri interi e

ω = 1 2 ( − 1 + i 3 ) = e 2 π i / 3 {\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}

è una radice cubica dell'unità. Gli interi di Eisenstein formano un reticolo triangolare nel piano complesso, a differenza degli interi gaussiani che formano un reticolo rettangolare nel piano complesso.

Proprietà

Gli interi di Eisenstein formano un anello commutativo di numeri algebrici nel campo dei numeri algebrici Q(√−3). Essi formano anche un dominio Euclideo.

Per vedere che gli interi di Eisenstein sono interi algebrici si noti che ogni z = a + bω è una radice del polinomio monico

z 2 − ( 2 a − b ) z + ( a 2 − a b + b 2 ) . {\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).}

In particolare, ω {\displaystyle \omega } soddisfa l'equazione

ω 2 + ω + 1 = 0. {\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0.}

Il gruppo delle unità nell'anello degli interi di Eisenstein è un gruppo ciclico formato dalle radici dell'unità seste nel piano complesso. In particolare esse sono:

{ ± 1 , ± ω , ± ω 2 } . {\displaystyle \{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\}.}

Questi interi di Eisenstein sono gli unici con valore assoluto unitario.

Il prodotto di due interi di Eisenstein (a + bω) per (c + dω) si scrive esplicitamente come

( a + b ω ) ⋅ ( c + d ω ) = ( a c − b d ) + ( b c + a d − b d ) ω . {\displaystyle (a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .}

La norma di un intero di Eisenstein è semplicemente il quadrato del suo modulo, ed è data da

| a + b ω | 2 = a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( ( 2 a − b ) 2 + 3 b 2 ) , {\displaystyle {|a+b\omega |}^{2}=a^{2}-ab+b^{2}={\tfrac {1}{4}}({(2a{-}b)}^{2}+3b^{2}),}

Il coniugato di ω {\displaystyle \omega } soddisfa la relazione

ω ¯ = ω 2 . {\displaystyle {\bar {\omega }}=\omega ^{2}.}

Numeri primi di Eisenstein

Se x e y sono interi di Eisenstein, si dice che x divide y se esiste un intero di Eisenstein z tale che

y = z x . {\displaystyle y=zx.}

Questo estende la nozione di divisibilità per i numeri interi ordinari. Inoltre si può estendere la nozione di primalità; un intero di Eisenstein non unitario x è un primo di Eisentein se i suoi unici divisori sono nella forma ux e u dove u è una qualunque delle sei unità.

Si può dimostrare che un numero primo ordinario (o primo razionale) della forma x 2 − x y + y 2 {\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}} può essere fattorizzato in ( x + ω y ) ( x + ω 2 y ) {\displaystyle (x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)} e quindi non primo negli interi di Eisentein. Inoltre, un numero della forma x2 − xy + y2 è un primo razionale se e solo se x + ωy è un primo di Eisentein.

Dominio Euclideo

L'anello degli interi di Eisentein forma un dominio Euclideo la cui norma v è

v ( a + ω b ) = a 2 − a b + b 2 . {\displaystyle v(a+\omega b)=a^{2}-ab+b^{2}.}

Questo può essere dimostrato immergendo gli interi di Eisenstein nei numeri complessi: poiché

v ( a + i b ) = a 2 + b 2 {\displaystyle v(a+ib)=a^{2}+b^{2}}

e poiché

a + ω b = ( a − 1 2 b ) + i 3 2 b {\displaystyle a+\omega b=\left(a-{1 \over 2}b\right)+i{{\sqrt {3}} \over 2}b}

segue che

v ( a + ω b ) = ( a − 1 2 b ) 2 + 3 4 b 2 = a 2 − a b + 1 4 b 2 + 3 4 b 2 = a 2 − a b + b 2 . {\displaystyle v(a+\omega b)=\left(a-{1 \over 2}b\right)^{2}+{3 \over 4}b^{2}=a^{2}-ab+{1 \over 4}b^{2}+{3 \over 4}b^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.}

Voci correlate

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Intero di Eisenstein, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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