Involuta

In matematica, date due curve ${\displaystyle \gamma }$ e ${\displaystyle \delta }$, si dice che ${\displaystyle \delta }$ è involuta (o evolvente) di ${\displaystyle \gamma }$, o che ${\displaystyle \gamma }$ è evoluta di ${\displaystyle \delta }$, se ${\displaystyle \delta }$ appartiene allo spazio generato dal vettore tangente di ${\displaystyle \gamma }$ per ogni punto del dominio e se gli spazi 1-dimensionali generati dai vettori tangenti di ${\displaystyle \gamma }$ e ${\displaystyle \delta }$ siano ortogonali in tutto il loro dominio. Per esempio la curva dei centri dei cerchi osculatori di ${\displaystyle \gamma }$ è un’evoluta di ${\displaystyle \gamma }$.

Geometricamente, un'involuta, è un particolare tipo di curva che dipende da un'altra forma o curva. L'involuta di una curva è il luogo dei punti toccati dall'estremo di un pezzo di corda tesa mentre viene avvolta (o srotolata, in modo geometricamente equivalente) attorno alla curva data.^[1]

Le involute appartengono alla famiglia di curve chiamate roulette.

L'evoluta di un'involuta è quindi la curva originaria.

Le nozioni di involuta e di evoluta di una curva furono introdotte da Christiaan Huygens nel suo lavoro intitolato Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato dimostrationes geometricae (1673).^[2]

Sia ${\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$ una curva regolare sul piano con curvatura mai nulla e ${\displaystyle a\in (t_{1},t_{2})}$, allora la curva con la rappresentazione parametrica

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}$

è un'involuta della curva data.

Aggiungendo di un numero arbitrario ma fisso ${\displaystyle l_{0}}$ all'integrale ${\displaystyle \int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw,}$ risulta in un'involuta corrispondente a una corda estesa di ${\displaystyle l_{0}}$ (come una palla di filo si lana, avente una certa lunghezza di filo già appeso prima che sia svolto). Quindi, l'involuta può variare di una costante ${\displaystyle a}$ e/o aggiungendo un numero all'integrale (vedi involuta di una parabola semicubica).

Se ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}$ si ottiene

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw.\end{aligned}}}$

Per ricavare le proprietà di una curva regolare è vantaggioso utilizzare la lunghezza dell'arco ${\displaystyle s}$ come il parametro della curva assegnata, che porta alle seguenti semplificazioni: ${\displaystyle |{\vec {c}}'(s)|=1\;}$ e ${\displaystyle {\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)}$, con ${\displaystyle \kappa }$ la curvatura e ${\displaystyle {\vec {n}}}$ l'unità normale. Si ottiene per l'involuta:

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)}$ e

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)}$

oltre al seguente risultato:

• nel punto ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a)}$ l'involuta non è regolare (perché ${\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0}$).

Da ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0}$ segue che:

• La normale dell'involuta al punto ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)}$ è la tangente della curva data nel punto ${\displaystyle {\vec {c}}(s)}$.
• Le involute sono curve parallele, poiché ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)}$ e poiché ${\displaystyle {\vec {c}}'(s)}$ è il vettore unitario normale a ${\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s)}$.

Per una circonferenza con rappresentazione parametrica ${\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}$, si ha ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}$. Quindi ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}$ e la lunghezza del percorso è ${\displaystyle r(t-a)}$.

Calcolando l'equazione sopra indicata dell'involuta, si ottiene

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}}$

per l'equazione parametrica dell'involuta della circonferenza.

La lunghezza dell'arco per ${\displaystyle a=0}$ e ${\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}$ dell'involuta è

${\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}$

L'equazione parametrica ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\frac {t^{3}}{3}},{\frac {t^{2}}{2}})}$, l'equazione dell'involuta è quindi

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

Eliminando ${\displaystyle t}$ si ottiene ${\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}$ dimostrando che questa involuta è una parabola.

Le altre involute sono quindi curve parallele di una parabola e non sono parabole, poiché sono curve di grado sei.

Per la catenaria ${\displaystyle (t,\cosh t)}$, il vettore tangente è ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}$, e come ${\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}$ la sua lunghezza è ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}$ . Quindi la lunghezza dell'arco dal punto (0, 1) è ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}$

Quindi l'involuta a partire da ${\displaystyle (0,1)}$ è parametrizzata da

${\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),}$

ed è quindi una trattrice.

Le altre involute non sono trattrici, poiché sono curve parallele di una trattrice.

La rappresentazione parametrica ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}$ descrive una cicloide. A partire dal ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}$, si ottiene (dopo aver usato alcune formule trigonometriche)

${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}$

e

${\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}$

Quindi le equazioni dell'involuta corrispondente sono

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

che descrivono la cicloide rossa spostata del diagramma. Quindi le involute della cicloide ${\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}$ sono curve parallele della cicloide

${\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t).}$

Le curve parallele di una cicloide non sono cicloidi.

L'evoluta di una data curva ${\displaystyle c_{0}}$ è costituita dai centri di curvatura di ${\displaystyle c_{0}}$. Tra involute ed evolute vale la seguente relazione:^[3][4]

Una curva è l'evoluta di una qualsiasi delle sue evolventi (involute).

• Involuta ed evoluta
• 
  Una trattrice (in rosso) come un'involuta di una catenaria
• 
  L'evoluta di una trattrice è una catenaria

L'involuta ha alcune proprietà che lo rendono estremamente importante per l'industria degli ingranaggi: se due ingranaggi a maglie incrociate hanno denti con la forma del profilo di involute (piuttosto che, ad esempio, una forma triangolare tradizionale), formano un sistema di ingranaggi a spirale. Le loro velocità di rotazione relative sono costanti mentre i denti sono impegnati. Gli ingranaggi inoltre entrano sempre in contatto lungo un'unica linea di forza costante. Con denti di altre forme, le velocità e le forze relative aumentano e diminuiscono quando i denti successivi si impegnano, provocando vibrazioni, rumore e usura eccessiva. Per questo motivo, quasi tutti i moderni ingranaggi hanno la forma a evolvente.^[5]

• Evoluta
• Compressore Scroll
• Ingranaggio a spirale
• Rulletta

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su evolvente

• Involuta in MathWorld