Ipocicloide

L'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette ossia delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di ipotrocoide.

Forma matematica

Due ipocicloidi. La prima ha un rapporto $a/b$ uguale a 5/3 ed è una curva chiusa con 5 cuspidi. La seconda ha un rapporto fra i raggi irrazionale (1/ √ 2) ed è una curva aperta con un numero infinito di cuspidi (solo una parte del grafico è mostrata).

{\displaystyle a/b} — Due ipocicloidi. La prima ha un rapporto $a/b$ uguale a 5/3 ed è una curva chiusa con 5 cuspidi. La seconda ha un rapporto fra i raggi irrazionale (1/ √ 2) ed è una curva aperta con un numero infinito di cuspidi (solo una parte del grafico è mostrata).

La rappresentazione parametrica di un'ipocicloide generata da una circonferenza di raggio $b$ che rotola (senza strisciare) su di una circonferenza di raggio $a$ (con $a>b$ ) è data da:

{\begin{cases}x=\left(a-b\right)\cos \phi +b\cos \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right)\\y=\left(a-b\right)\sin \phi -b\sin \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right).\end{cases}}

L'ipocicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi.

Se ${\frac {a}{b}}$ è un numero razionale allora l'ipocicloide è una curva chiusa con ${\frac {a}{b}}$ cuspidi. In particolare se ${\frac {a}{b}}=n\in \mathbb {N} ,$ allora l'ipocicloide ha $n$ cuspidi; invece se ${\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q\smallsetminus Z} ,$ allora l'ipocicloide ha un numero di cuspidi pari al numeratore della frazione ai minimi termini che deriva da ${\frac {a}{b}}$ (quindi supponendo $(a,b)=1$ abbiamo esattamente $a$ cuspidi). Se invece ${\frac {a}{b}}$ è un numero irrazionale la curva non si chiude mai.

Esempi di ipocicloidi. Nelle prime tre righe sono rappresentate ipocicloidi con un rapporto tra $a$ e $b$ razionale, invece, nell'ultima riga il rapporto tra $a$ e $b$ è irrazionale. Al primo gruppo appartengono tutte ipocicloidi chiuse, al secondo tutte ipocicloidi aperte.

{\displaystyle a} — Esempi di ipocicloidi. Nelle prime tre righe sono rappresentate ipocicloidi con un rapporto tra $a$ e $b$ razionale, invece, nell'ultima riga il rapporto tra $a$ e $b$ è irrazionale. Al primo gruppo appartengono tutte ipocicloidi chiuse, al secondo tutte ipocicloidi aperte.

Voci correlate

Rulletta
Ipotrocoide
Cicloide
Epicicloide
Astroide

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Ipocicloide, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Ipocicloide, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.