Legge di Stefan-Boltzmann

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La legge di Stefan-Boltzmann, chiamata anche legge di Boltzmann o legge di Stefan, dai due fisici austriaci Ludwig Boltzmann e Josef Stefan, stabilisce che l'emittanza di un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura assoluta (espressa in kelvin):

q=\sigma \cdot T^{4}

dove:

$q$ è l'emittanza termica,
$T$ la temperatura assoluta
$\sigma$ è la costante di Stefan-Boltzmann.

La legge, in questo enunciato, è valida solo per corpi neri ideali.

La legge fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884. Nella trattazione contemporanea è ricondotta alla legge di Planck, di cui costituisce un integrale. Questo legame permette di ricondurre la costante di Stefan-Boltzmann alle costanti fisiche fondamentali:

\sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}}

Per la dimostrazione e la spiegazione dei termini si rimanda al paragrafo derivazione quantistica.

Derivazione termodinamica

La legge può essere dedotta a partire da considerazioni di natura termodinamica, senza poter accedere però ad alcuna informazione per il valore della costante di Stefan-Boltzmann. Sono note le relazioni:

u={\frac {4}{c}}q

p={\frac {1}{3}}u

dove:

$u$ è la densità di energia,
$c$ la velocità della luce,
$q$ il flusso termico di irraggiamento,
$p$ la pressione esercitata nel lavoro da irraggiamento.

Quindi dalla relazione fondamentale dell'energia interna si ha, integrando sul volume a temperatura costante:

~{\rm {d}}U=T~{\rm {d}}S-p~{\rm {d}}V

\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}

per le relazioni di Maxwell ciò equivale a:

\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p

u={\frac {1}{3}}T{\frac {\partial u}{\partial T}}-{\frac {1}{3}}u

dove nell'ultima equazione si sono sostituite le relazioni note all'inizio. Integrando l'equazione differenziale si ottiene:

q=\sigma ~T^{4}

essendo $\sigma$ una costante d'integrazione, incorporata a quattro volte l'inverso di $c$ nel valore di sigma, che veniva ricavata sperimentalmente.

Derivazione quantistica

Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette radiazione elettromagnetica; la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura del corpo e secondariamente dalle sue caratteristiche:

q=\int _{0}^{\infty }I(\nu )~d\nu =\int _{0}^{\infty }I(\lambda )~d\lambda

dove:

$\nu$ è la frequenza della radiazione elettromagnetica;
$h$ è la costante di Planck,
$T$ è la temperatura assoluta,
$I(\nu )d\nu$ è la densità di energia della radiazione elettromagnetica compresa tra $\nu$ e $\nu +d\nu$ .

Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione delle frequenze non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente. Segue la legge di Planck per la radianza spettrale:

$I(T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}$

dove:

$h$ è la costante di Planck,
$k$ è la costante di Boltzmann,
$c$ è la velocità della luce nel vuoto,
$T$ è la temperatura assoluta,
$\lambda$ è la lunghezza d'onda,
$e$ è il numero di Eulero.

viene integrata su tutto il dominio di lunghezza d'onda:

$q=\int _{0}^{\infty }I(T)\operatorname {d} \lambda ={2\pi hc^{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\lambda ^{5}}{\bigl (}e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1{\bigr )}}}\operatorname {d} \lambda ={\frac {2\pi k^{4}T^{4}}{c^{2}h^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n^{4}}}={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}T^{4}$

si ottiene che la costante di Stefan-Boltzmann definita classicamente si può riesprimere come:

\sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}}

Corpo radiante reale

Ovviamente il "corpo nero" è un'idealizzazione e i corpi, anche i più neri, non lo sono mai completamente. Per essere più precisi in fisica per corpo nero si intende un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente; al contrario un corpo di un certo colore (diverso da nero) non lo è perché riflette parte della luce che lo colpisce. I "corpi bianchi" infatti riflettono buona parte della radiazione che li colpisce ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono duali delle caratteristiche in assorbimento: un corpo nero, assorbitore ideale, è anche emettitore ideale. Nell'applicazione a corpi reali della legge di Stefan-Boltzmann si moltiplica la costante σ per l'emissività ε, che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione oltre che dalla sua temperatura ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per cui per i corpi reali (chiamati anche "corpi grigi") si ha: