Moto elicoidale uniforme

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Il moto elicoidale uniforme in un caso particolare ( cos ⁡ t , sin ⁡ t , t ) {\displaystyle (\cos t,\sin t,t)} da t = 0 {\displaystyle t=0} con le frecce che indicano la direzione in cui cresce t {\displaystyle t}

Si chiama moto elicoidale il moto di un punto materiale che descrive con velocità angolare costante un'elica circolare, cioè un'elica appartenente ad un cilindro circolare retto, come rappresentato in figura.

È un moto tridimensionale di un punto, che si compone di un moto piano circolare uniforme in un piano e di un moto rettilineo uniforme nella direzione perpendicolare al piano detto.

In coordinate cartesiane dato il passo dell'elica P 0 {\displaystyle P_{0}} , il raggio r {\displaystyle r} del cilindro attorno a cui sale l'elica e l'angolo θ {\displaystyle \theta } che indica "l'avvolgersi" dell'elica attorno al suo asse, l'equazioni parametriche che individuano l'elica sono:

{ x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = P 0 θ 2 π {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x=r\cos \theta \\[4pt]&y=r\sin \theta \\[4pt]&z={\frac {P_{0}\theta }{2\pi }}\\[4pt]\end{aligned}}\right.}

Chiamiamo T ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}} il versore tangente alla traiettoria dell'elica, N ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {N} }}} il versore normale alla traiettoria ed assegniamo il "verso" di percorrenza dell'elica come positivo per valori di θ {\displaystyle \theta } crescenti. Per avere la velocità del moto è necessario derivare rispetto al tempo l'equazione parametrica vettoriale dell'elica:

v = d x d t + d y d t + d z d t = − r ω sin ⁡ θ   i ^ + r ω cos ⁡ θ   j ^ + P 0 ω 2 π k ^ {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {y} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {z} }{\mathrm {d} t}}=-r\omega \sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+r\omega \cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}+{\frac {P_{0}\omega }{2\pi }}{\hat {\mathbf {k} }}}

che è anche pari a:

v = ( r 2 + P 0 2 4 π 2 ) d θ d t T ^ = ( r 2 + P 0 2 4 π 2 ) ω T ^ {\displaystyle \mathbf {v} =\left({\sqrt {r^{2}+{\frac {P_{0}^{2}}{4\pi ^{2}}}}}\right){\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}=\left({\sqrt {r^{2}+{\frac {P_{0}^{2}}{4\pi ^{2}}}}}\right)\omega {\hat {\mathbf {T} }}} .

Similmente derivando la velocità scalare potremo trovare l'accelerazione:

a = ( r 2 + P 0 2 4 π 2 ) d 2 θ d t 2 T ^ + r ( d θ d t ) 2 N ^ = ( r 2 + P 0 2 4 π 2 ) α T ^ + r ω 2 N ^ {\displaystyle \mathbf {a} =\left({\sqrt {r^{2}+{\frac {P_{0}^{2}}{4\pi ^{2}}}}}\right){\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}{\hat {\mathbf {T} }}+r\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}{\hat {\mathbf {N} }}=\left({\sqrt {r^{2}+{\frac {P_{0}^{2}}{4\pi ^{2}}}}}\right)\alpha {\hat {\mathbf {T} }}+r\omega ^{2}{\hat {\mathbf {N} }}} .

Poiché ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} è costante nel moto uniforme, allora α = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=0} .

Si può dunque scrivere:

a = r ω 2 N ^ {\displaystyle \mathbf {a} =r\omega ^{2}{\hat {\mathbf {N} }}}


Note


Bibliografia

  • Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro e Cesare Voci, Fisica 1, Napoli, EdiSES, 2003.

Voci correlate

  • Accelerazione
  • Cinematica
  • Dinamica (fisica)
  • Sistema di riferimento
  • Velocità

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Collegamenti esterni

  • The Physics Classroom, su physicsclassroom.com.
  • Nicola Santoro, La cinematica in breve (PDF), su maecla.it.
  • Moto elicoidale uniforme, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
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