Numeri di Grassmann

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In fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità $\theta _{i}$ che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann, ma commuta con i numeri ordinari $x_{j}$ ,

\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x_{j}=x_{j}\theta _{i}.

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

\theta _{i}\theta _{i}=0.

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L'algebra di Grassmann generata da $n$ numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione $2^{n}$ . Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se $n=3$ , abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}

\theta _{1}\theta _{2},\theta _{2}\theta _{3},\theta _{3}\theta _{1}

\theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}

che insieme all'unità $1$ , formano uno spazio $2^{3}=8$ -dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

Rappresentazione matriciale

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l'algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$ . Questi numeri possono essere rappresentati da matrici $4\times 4$ :

\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}

In generale, una algebra di Grassmann con $n$ generatori può venire rappresentata da $2^{n}\times 2^{n}$ matrici quadrate. In fisica queste matrici possono rappresentare operatori di creazione agenti sullo spazio di Fock, ovvero lo spazio formato dalla somma diretta degli spazi di Hilbert di $0,1,2,\ldots ,n$ fermioni. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o $0$ o $1$ , ci sono $2^{n}$ stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.

Applicazioni

In teoria quantistica dei campi, i numeri di Grassman sono usati per definire l'integrale sui cammini dei campi fermionici. A questo scopo è necessario definire gli integrali sulle variabili di Grassman, noti come integrali di Berezin.

I numeri di Grassman sono anche importanti nella definizione di supervarietà (o superspazio), dove vengono utilizzate come "coordinate anticommutanti".