Onda sinusoidale

In fisica, un'onda sinusoidale è un'onda descritta matematicamente dalla funzione seno. Una sinusoide o curva sinusoidale è la curva rappresentata dal grafico del seno. Una sinusoide è analoga alla curva relativa alla funzione coseno, detta cosinusoide, sfasata di ${\displaystyle \pi /2}$.

Definizione

Un'onda sinusoidale è un'onda dove la variabile ${\displaystyle x}$ è una funzione della forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=A\,\sin \left(2\pi fx+\phi \right)\\&=A\,\sin \left({2\pi \over \tau }x+\phi \right)\\&=A\,\sin \left(\omega x+\phi \right)\\&=A\cos \left(2\pi f\,x+\phi '\right)\\&=A\cos \left({2\pi \over \tau }x+\phi '\right)\\&=A\cos \left(\omega x+\phi '\right)\end{aligned}}}$

dove ${\displaystyle A}$ è l'ampiezza, mentre:

${\displaystyle \omega \ =2\pi f={2\pi \over \tau }}$

è la pulsazione (o velocità angolare, indica quanti periodi ci sono in un intervallo di ${\displaystyle 2\pi }$). Inoltre:

${\displaystyle f={\omega \over 2\pi }={1 \over \tau }}$

è la frequenza, che indica quante volte in un'unità di tempo la funzione si ripete, e:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}}$

è il periodo, con ${\displaystyle \phi }$ oppure ${\displaystyle \phi '=\phi -{\tfrac {\pi }{2}}}$ la fase.

Il grafico di una tale classe di funzioni è compreso tra le rette ${\displaystyle y=A}$ e ${\displaystyle y=-A}$.

Poiché si tratta di una funzione periodica, detto ${\displaystyle \tau }$ il periodo si ha:

${\displaystyle y(x\pm \tau )=y(x)}$

Caratteristiche

Usando la formula di Eulero, un'onda sinusoidale può essere rappresentata come la parte reale della funzione:

${\displaystyle f(\xi )=f_{\max }\,\Re {\left[\mathrm {e} ^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}+\omega t+\phi )}\right]}}$

dove ${\displaystyle {\vec {k}}}$ è il vettore d'onda, che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato pulsazione spaziale, ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:

${\displaystyle k=|{\vec {k}}|={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

Lo scalare ${\displaystyle f_{\max }}$ è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine ${\displaystyle \phi }$ rappresenta la fase iniziale dell'onda.

Le onde sinusoidali sono una soluzione particolare dell'equazione delle onde. L'onda è una funzione dello spazio e tempo, per cui un'onda monodimensionale associa ad ogni posizione spaziale ${\displaystyle x}$ e ad ogni tempo ${\displaystyle t}$ un'ampiezza di oscillazione ${\displaystyle y}$ attorno alla posizione di equilibrio:

${\displaystyle y=f(x,t)\,}$

Sono possibili perciò due punti di vista:

• Scegliendo di valutare la dimensione temporale (${\displaystyle x}$ è fissato), si esprime l'oscillazione ${\displaystyle y}$ in dipendenza dal tempo ${\displaystyle t}$ come ${\displaystyle y=f(t)\,}$.
• Scegliendo di focalizzare l'attenzione sullo stato di un mezzo perturbato in un certo istante (${\displaystyle {\mathit {t}}}$ è fissato) si ha l'"istantanea" dell'onda, cioè la forma d'onda (il suo profilo al tempo fissato di osservazione). L'oscillazione ${\displaystyle y}$ può essere espressa in funzione della posizione ${\displaystyle x}$ come ${\displaystyle {\mathit {y=f(x)}}}$.

In entrambi i casi si può partire dalla dipendenza co-sinusoidale delle variabili nel moto armonico, ricavate considerando quest'ultimo come un'opportuna proiezione di un moto circolare uniforme:

${\displaystyle y=y_{\max }\cos(\omega t+\phi )}$

dove ${\displaystyle y_{\max }}$ è l'ampiezza dell'oscillazione e ${\displaystyle \phi }$ è la fase iniziale. Attribuendo a ${\displaystyle \phi }$ un valore di 90 gradi si può passare da una forma in coseno a una in seno, quindi le espressioni sono equivalenti. L'espressione è in ${\displaystyle y}$ per attuare la "visualizzazione" dell'oscillazione lungo l'asse verticale del sistema coordinato.

Fissando la variabile ${\displaystyle x}$ si ha:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos(\omega t+\phi )=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\tau }}t\right)}$

dove ${\displaystyle \tau }$ è il periodo dell'onda. La fase iniziale è nulla, e se la perturbazione sul mezzo si propaga dall'inizio muovendosi con velocità di fase ${\displaystyle {\mathit {v}}}$ allora essa raggiungerà un altro punto (a destra dell'origine) a una certa distanza ${\displaystyle {\mathit {x}}}$ dopo un tempo:

${\displaystyle t1={\frac {x}{v}}}$

Ciò significa che il punto alla coordinata ${\displaystyle {\mathit {x}}}$ avrà, al tempo ${\displaystyle t}$, uno spostamento verticale uguale a quello che aveva il punto iniziale t1 secondi prima. La propagazione è quindi descritta dall'espressione:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\tau }}(t-t1)\right]=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\tau }}\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\right]}$

Raccogliendo ${\displaystyle 2\pi }$ si può passare a una forma più comune che talvolta si trova sui testi:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos \left[2\pi \left({\frac {t}{\tau }}-{\frac {x}{\lambda }}\right)\right]}$

Se si chiama numero d'onda ${\displaystyle k}$ la quantità ${\displaystyle 2\pi /\lambda }$, e se la pulsazione è ${\displaystyle \omega }$, il rapporto già noto dallo studio del moto circolare ${\displaystyle 2\pi /\tau }$ consente di pervenire formalmente all'equazione delle onde armoniche:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos(\omega t-kx)}$

Se all'espressione in coseno iniziale si fosse aggiunta una fase di 90° si sarebbe ottenuta un'espressione in seno negativo poiché ${\displaystyle \cos(\alpha +90)=\sin(-\alpha )}$, e questo avrebbe portato a un'espressione sinusoidale con i segni interni invertiti, cioè ${\displaystyle y=y_{\max }\,\sin(kx-\omega t)}$, che talvolta viene presentata sui testi.

Considerando il secondo caso dell'elenco sopra, ad un tempo fissato:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos(\omega t+\phi )=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\tau }}t\right)=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}x\right)}$

Si è espresso il tempo come ${\displaystyle t=x/v}$, sostituendo e usando la relazione fondamentale delle onde ${\displaystyle {\mathit {\lambda =v\tau }}}$ (la lunghezza d'onda è lo spazio percorso da un'onda con velocità di fase ${\displaystyle v}$ in un periodo ${\displaystyle \tau }$): in ogni caso, quel che conta è che si ottiene una cosinusoide di periodo spaziale ${\displaystyle \lambda }$ dipendente solo dalla posizione ${\displaystyle x}$. Se l'impulso si sta muovendo lungo l'asse delle ascisse, inducendo un'oscillazione sulle ordinate, ad un certo istante successivo a quello fissato il punto alla certa coordinata ${\displaystyle x}$ avrà un'elevazione uguale a quella del punto ${\displaystyle x_{0}}$ da cui l'impulso è partito ${\displaystyle t}$ secondi prima. L'onda si propaga quindi (verso destra) con un profilo dato da:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right]}$

mentre si sarebbe dovuta considerare un'espressione in parentesi tonda del tipo ${\displaystyle (x+vt)}$ se si fosse voluta descrivere la propagazione verso sinistra. Esprimendo ${\displaystyle {\mathit {v={\frac {\lambda }{\tau }}}}}$ e sostituendo, si ha l'espressione:

${\displaystyle y=y_{\max }\,\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{\tau }}\right)\right]}$

che considerando la relazione goniometrica ${\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \left(\alpha \right)}$ è analoga a quella ottenuta in precedenza (perché si cambiano i segni dell'argomento).

• 
  Il parametro A (Ampiezza) provoca una dilatazione lungo l'asse y
• 
  Il parametro ${\displaystyle \omega }$ (pulsazione) provoca una dilatazione lungo l'asse x
• 
  Il parametro ${\displaystyle \phi }$ (fase) provoca una traslazione orizzontale
• 
  Il parametro k provoca una traslazione verticale

Bibliografia

• (EN) M. Abramowitz, I.A. Stegun, "Handbook of mathematical functions" , Dover, reprint (1972) pp. §4.3

Voci correlate

• Onda (fisica)
• Seno (matematica)
• Funzioni trigonometriche

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Yu.A. Gor'kov, Sinusoid, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Yu.A. Gor'kov, Sine, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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