Prestito (finanza)

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In economia il prestito è la cessione di una somma di denaro con il vincolo della restituzione del capitale di pari valore o maggiore.

Il termine indica essenzialmente un finanziamento di denaro che un istituto o società di credito autorizzata (detta mediatrice o mediatore) (es. banca) o un privato cittadino concede a un altro soggetto.

Descrizione

Gli elementi costitutivi di un prestito sono:

  • capitale finanziato,
  • tasso annuo nominale d'interesse (TAN)
  • tasso annuo effettivo globale (TAEG)
  • durata del finanziamento
  • l'importo, ed eventuali rate e condizioni.

L'assegnazione di un prestito avviene dopo una serie di controlli preliminari che il mediatore esegue in base alla situazione economica e professionale del soggetto richiedente, esami che gli permette di valutare la sicurezza evitando sconvenienti situazioni di insolvenza.

Tale finanziamento può essere richiesto ed erogato con diversi scopi: per acquistare beni di consumo (automobile, abitazione, arredamento, elettrodomestici, vestiti, ecc.), per ristrutturare la propria casa (edilizia), per saldare altri debiti o prettamente per possedere una disponibilità immediata di denaro contante (prestiti di liquidità).

Gestione del credito

Può succedere che la riscossione di un prestito diventi incerta. Il creditore può tutelare i propri interessi tramite:

  • azioni di recupero crediti, fino al ricorso ad agenti di riscossione;
  • azioni legali, come lettere di sollecito o interventi giudiziari;
  • cessione del credito non performante o non performing loans a fronte di denaro liquido a società specializzate nella gestione di crediti deteriorati.

Tutte queste attività richiedono l'utilizzo di informazioni commerciali.

Tipologia

La concessione di un prestito può essere subordinata alla presentazione da parte del richiedente di una garanzia reale o personale. Possiamo quindi fare un'ulteriore distinzione tra prestiti garantiti e non garantiti.

Prestiti finalizzati e non finalizzati

Il prestito inoltre può essere finalizzato e non finalizzato. La caratteristica principale che distingue i due tipi di prestito-sovvenzione è basata sul metodo di erogazione e conseguentemente alla restituzione del denaro stesso: nel caso dei prestiti finalizzati, il cliente è obbligato all'acquisto di un bene di consumo specificando comunque la finalità del prestito e mettendo necessariamente a conoscenza l'istituto finanziatore; mentre nel caso di prestiti non finalizzati il cliente non ha alcun vincolo di destinazione ed è libero di disporre della somma richiesta in prestito con maggiore libertà d'azione.

Generalmente i prestiti finalizzati si distinguono dagli altri per una maggiore semplicità e rapidità della pratica, infatti talvolta possono essere erogati dallo stesso punto vendita del bene in questione grazie a convenzioni commerciali e finanziarie con le banche; mentre per i prestiti non finalizzati ci si rivolge esclusivamente a istituti di credito.

Credito al consumo

Tra i prestiti non finalizzati il più diffuso è il prestito personale, che rientra anche nella categoria del credito al consumo ed è un prestito senza garanzia.

In Italia la disciplina del credito al consumo prevede un importo compreso tra 154,94 euro e 30 987,41 euro. Generalmente, nel caso dei prestiti personali in senso stretto, l'importo è medio alto, mentre per le somme più contenute si preferisce utilizzare la forma del credito rotativo: carte di credito revolving o apertura di linee di credito rotative (stesso meccanismo delle carte revolving ma senza il supporto di plastica). La durata è compresa tra 12 e 120 mesi.

Ovviamente la scelta tra queste due forme di finanziamento sarà fatta dal cliente in stretta relazione alle proprie esigenze e disponibilità.

Trattazione matematica

Al tempo t=0 viene erogato un prestito d'importo P 0 {\displaystyle P_{0}} . Tale somma viene restituita con rate costanti di importo R pagate a partire dal tempo t=1 pertanto se si considera l'anno come unità di misura allora R è la rata annuale (conoscendo la rata mensile basta moltiplicarla per 12).

Indicando con r il tasso di interesse costante con il quale viene calcolato l'interesse sul debito residuo P t {\displaystyle P_{t}} si ha che:

  P t + 1 = P t + r P t − R = ( 1 + r ) P t − R {\displaystyle \ P_{t+1}=P_{t}+rP_{t}-R=(1+r)P_{t}-R}

Calcolando P 1 {\displaystyle P_{1}} cioè il prestito dopo 1 anno si ha:

  P 1 = ( 1 + r ) P 0 − R {\displaystyle \ P_{1}=(1+r)P_{0}-R}

Calcolando P 2 {\displaystyle P_{2}} cioè il prestito dopo 2 anni si ha:

  P 2 = ( 1 + r ) P 1 − R = ( 1 + r ) 2 P 0 − R ( 1 + r ) − R {\displaystyle \ P_{2}=(1+r)P_{1}-R=(1+r)^{2}P_{0}-R(1+r)-R}

Calcolando P 3 {\displaystyle P_{3}} cioè il prestito dopo 3 anni si ha:

  P 3 = ( 1 + r ) P 2 − R = ( 1 + r ) 3 P 0 − R ( 1 + r ) 2 − R ( 1 + r ) − R {\displaystyle \ P_{3}=(1+r)P_{2}-R=(1+r)^{3}P_{0}-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R}

Pertanto il prestito al tempo t sarà:

  P t = ( 1 + r ) P t − 1 − R = ( 1 + r ) t P 0 − R ( 1 + r ) t − 1 − . . . . − R ( 1 + r ) 2 − R ( 1 + r ) − R {\displaystyle \ P_{t}=(1+r)P_{t-1}-R=(1+r)^{t}P_{0}-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R}

Posto:

  S t =: − R ( 1 + r ) t − 1 − . . . . − R ( 1 + r ) 2 − R ( 1 + r ) − R {\displaystyle \ S_{t}=:-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R}

Riscriviamo P t {\displaystyle P_{t}} come:

  P t = ( 1 + r ) t P 0 + S t {\displaystyle \ P_{t}=(1+r)^{t}P_{0}+S_{t}}

Moltiplicando ambo i membri dell'equazione S t {\displaystyle S_{t}} per − ( 1 + r ) {\displaystyle -(1+r)} si ha:

  − ( 1 + r ) S t = R ( 1 + r ) t + . . . . + R ( 1 + r ) 3 + R ( 1 + r ) 2 + R ( 1 + r ) {\displaystyle \ -(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}+....+R(1+r)^{3}+R(1+r)^{2}+R(1+r)}

Sommando membro a membro le due equazioni si ottiene:

  S t − ( 1 + r ) S t = R ( 1 + r ) t − R {\displaystyle \ S_{t}-(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}-R}

Da cui si ricava:

  S t = − R r ( ( 1 + r ) t − 1 ) {\displaystyle \ S_{t}=-{\dfrac {R}{r}}\left((1+r)^{t}-1\right)}

Allora il prestito al tempo t risulta uguale a:

  P t = ( 1 + r ) t P 0 + S t = ( 1 + r ) t ( P 0 − R r ) + R r {\displaystyle \ P_{t}=(1+r)^{t}P_{0}+S_{t}=(1+r)^{t}\left(P_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)+{\dfrac {R}{r}}}

Considerando la successione P t {\displaystyle P_{t}} continua se ne può calcolare la derivata per vedere quando è crescente o decrescente. Pertanto risulta:

  d ( P ( t ) ) d t = ( 1 + r ) t l o g ( 1 + r ) ( P 0 − R r ) {\displaystyle \ {\dfrac {d(P(t))}{dt}}=(1+r)^{t}log(1+r)\left(P_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)}

per cui la derivata è positiva e la funzione è crescente per R <= P 0 r {\displaystyle R<=P_{0}r} e quindi in tal caso il prestito non si estinguerebbe mai, mentre per R > P 0 r {\displaystyle R>P_{0}r} la derivata è negativa, la funzione è decrescente per cui dopo un certo tempo il prestito si estingue.

Volendo calcolare dopo quanto tempo il prestito si estingue bisogna imporre la condizione:

P t = ( 1 + r ) t ( P 0 − R r ) + R r = 0 {\displaystyle P_{t}=(1+r)^{t}\left(P_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)+{\dfrac {R}{r}}=0}

da cui si ottiene l'equazione esponenziale:

( 1 + r ) t ∗ = ( R R − P 0 r ) {\displaystyle (1+r)^{t_{*}}=\left({\dfrac {R}{R-P_{0}r}}\right)}

pertanto passando ai logaritmi si ottiene che il tempo t ∗ {\displaystyle t_{*}} in corrispondenza del quale il prestito si estingue è:

t ∗ = log ⁡ ( R R − P 0 r ) log ⁡ ( 1 + r ) {\displaystyle t_{*}={\dfrac {\log \left({\dfrac {R}{R-P_{0}r}}\right)}{\log(1+r)}}}

mentre la rata annuale per estinguere il prestito in un tempo annuale t ∗ {\displaystyle t_{*}} al tasso di interesse r è :

R = P 0 r ( r + 1 ) t ∗ ( r + 1 ) t ∗ − 1 {\displaystyle R={\frac {{P_{0}}r\,{{\left(r+1\right)}^{t_{*}}}}{{{\left(r+1\right)}^{t_{*}}}-1}}}

Usando il programma wxMaxima per calcolare la rata mensile di un prestito di 100 000 € al tasso del 2% in 20 anni si ottiene una rata mensile di 505,88 €: 

M_0:100000;
t:20*12;
r:0.02/12;
R: (M_0*r*(1+r)^t) /((1+r)^t-1) ;

(M_0) 100000
(t)	240
(r)	0.001666666666666666
(R)	505.8833350451002

Usando il programma wxMaxima per calcolare gli anni necessari affinché un prestito di 136 000 € al tasso del 3,5% con una rata mensile di 616 € si estingua, si ottiene un tempo di 30 anni: 

P_0:136000;
R:616*12;
r:0.035;
t:log(R/(R-P_0*r))/log(1+r);

(P_0)136000
(R)	7392
(r)	0.035
(t)	30.01777598822768

Volendo infine calcolare il tasso di interesse annuo di un prestito di 136 000 € con una rata mensile di 616 € per 30 anni, utilizzando wxMaxima si ottengono soluzioni sia reali sia complesse ma bisogna considerare soltanto quella reale positiva che risulta uguale a r=0,035 cioè r=3,5%: 

P_0:136000;
R:616*12;
t:30;
to_poly_solve([R= (P_0*r*(1+r)^t) /((1+r)^t-1)], [r]);

%union([r=-1.888535594417947],[r=0.0349730024273047],[r=-0.896028170357983*%i-0.9280999599620557],[r=-0.8888109431650352*%i-1.112956586482667],[r=-0.8657146919295419*%i-0.7448171243784433],[r=-0.8445459478845543*%i-1.291928857130876],[r=-0.7988904998481778*%i-0.5704246807439609],[r=-0.7652448516065452*%i-1.457831182844293],[r=-0.6979711584231817*%i-0.4117437679963628],[r=-0.6540353194183626*%i-1.604138386579367],[r=-0.5665737683927865*%i-0.2746913425371878],[r=-0.5152397750397905*%i-1.724120178284734],[r=-0.4090913669433675*%i-0.1636448979862607],[r=-0.3562793044936652*%i-1.812932383015084],[r=-0.2293004835165864*%i-0.07964103298575065],[r=-0.1827369053504073*%i-1.86907185558138],[r=0.1827369053504073*%i-1.86907185558138],[r=0.2293004835165864*%i-0.07964103298575065],[r=0.3562793044936652*%i-1.812932383015084],[r=0.4090913669433675*%i-0.1636448979862607],[r=0.5152397750397905*%i-1.724120178284734],[r=0.5665737683927865*%i-0.2746913425371878],[r=0.6540353194183626*%i-1.604138386579367],[r=0.6979711584231817*%i-0.4117437679963628],[r=0.7652448516065452*%i-1.457831182844293],[r=0.7988904998481778*%i-0.5704246807439609],[r=0.8445459478845543*%i-1.291928857130876],[r=0.8657146919295419*%i-0.7448171243784433],[r=0.8888109431650352*%i-1.112956586482667],[r=0.896028170357983*%i-0.9280999599620557])

Bibliografia

  • Daniella Lo Martire, Gianni Lo Martire, Prestiti, mutui e credito al consumo. Guida all'indebitamento consapevole, Maggioli Editore, 2008
  • Bruno Brunella, Il mercato secondario dei prestiti bancari. Opportunità e sviluppo delle loan sales e gestione efficiente del portafoglio crediti, Bancaria Editrice, 2004

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