Rappresentazione spettrale di Källén-Lehmann

La rappresentazione spettrale di Källén-Lehmann fornisce una espressione generale per la funzione di correlazione a due punti di una teoria di campo interagente come una somma pesata di propagatori liberi. Fu scoperta da Gunnar Källén e Harry Lehmann indipendentemente^[1][2]. Il propagatore di una teoria interagente può essere scritto come:

${\displaystyle \Delta (p)=\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\varepsilon }}}$

dove ${\displaystyle \rho (\mu ^{2})}$ è la funzione di densità spettrale che dovrebbe essere definita positiva. In una teoria di gauge, quest'ultima condizione non può essere garantita, ma tuttavia si può comunque costruire un'analoga rappresentazione spettrale^[3]. Questa formula è un utile strumento che permette di trattare le teorie di campo con un approccio non perturbativo.

Per derivare la rappresentazione spettrale per il propagatore di un campo ${\displaystyle \Phi (x)}$, si consideri un insieme completo di stati ${\displaystyle \{|n\rangle \}}$, rispetto ai quali la funzione di correlazione a due punti può essere scritta come:

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\sum _{n}\langle 0|\Phi (x)|n\rangle \langle n|\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle .}$

A questo punto si può usare l'invarianza di Poincaré dello stato di vuoto, come generalmente indicato nelle ipotesi fondamentali delle teorie di campo, per semplificare l'espressione precedente:

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\sum _{n}e^{-ip_{n}\cdot (x-y)}|\langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}.}$

Si introduca la funzione di densità spettrale:

${\displaystyle \rho (p^{2})\theta (p_{0})(2\pi )^{-3}=\sum _{n}\delta ^{4}(p-p_{n})|\langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}}$.

Si è usato il fatto che la funzione a due punti, essendo una funzione di ${\displaystyle p_{\mu }}$, può solo dipendere da ${\displaystyle p^{2}}$. Inoltre tutti gli stati intermedi hanno ${\displaystyle p^{2}\geq 0}$ e ${\displaystyle p_{0}>0}$. È immediato capire che la funzione di densità spettrale è reale e positiva. Quindi, si può scrivere:

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}e^{-ip\cdot (x-y)}\rho (\mu ^{2})\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})}$

dove si è scambiato l'ordine di integrazione, passaggio da analizzare bene dal punto di vista matematico ma in questo contesto si possono tralasciare tutti gli eventuali problemi di questo scambio e scrivere quindi:

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta '(x-y;\mu ^{2})}$

dove

${\displaystyle \Delta '(x-y;\mu ^{2})=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})}$.

Dal teorema CPT si sa inoltre che è valida una espressione identica per ${\displaystyle \langle 0|\Phi ^{\dagger }(x)\Phi (y)|0\rangle }$ e quindi si può arrivare all'espressione per il prodotto ordinato cronologicamente di campi:

${\displaystyle \langle 0|T\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta (x-y;\mu ^{2})}$

dove adesso

${\displaystyle \Delta (p;\mu ^{2})={\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\varepsilon }}}$

è il propagatore della particella libera non interagente. A questo punto, ottenuto l'esatto propagatore dato dal prodotto cronologicamente ordinato della funzione a due punti, si è ottenuta la decomposizione spettrale.

• S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields: Volume I Foundations, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55001-7.
• Michael Peskin e Daniel Schoeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books Group, 1995, ISBN 0-201-50397-2.
• Jean Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena, 3rd, Clarendon Press, 1996, ISBN 0-19-851882-X.

• Propagatore
• Teoria quantistica dei campi

• The Tangent Bundle, su physics.thetangentbundle.net. URL consultato il 29 luglio 2019 (archiviato dall'url originale il 4 marzo 2016).

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