Simbolo di Jacobi

Il simbolo di Jacobi è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri. Esso prende il nome dal matematico tedesco Carl Gustav Jakob Jacobi.

Definizione

Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che utilizza la scomposizione in fattori primi dell'argomento inferiore. È definito come segue:

Sia n > 2 un numero naturale dispari e n = p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p k α k {\displaystyle p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}} . Per ogni intero a, il simbolo di Jacobi è ( a n ) = ( a p 1 ) α 1 ( a p 2 ) α 2 ⋯ ( a p k ) α k {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{\alpha _{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{\alpha _{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{k}}}\right)^{\alpha _{k}}} dove ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} con p primo è il simbolo di Legendre. Si conviene inoltre di porre ( a 1 ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1}

Proprietà del simbolo di Jacobi

Il simbolo di Jacobi possiede alcune utili proprietà che consentono di velocizzare i calcoli rispetto all'uso diretto della definizione. Tra di esse si ricordano (si assuma che a e b siano interi e che m ed n siano interi positivi dispari):

  1. Se n è primo, il simbolo di Jacobi è evidentemente uguale al simbolo di Legendre.
  2. ( a n ) ∈ { 0 , 1 , − 1 } {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)\in \{0,1,-1\}}
  3. ( a n ) = 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=0} se ( a , n ) ≠ 1 {\displaystyle (a,n)\neq 1}
  4. ( a b n ) = ( a n ) ( b n ) {\displaystyle \left({\frac {ab}{n}}\right)=\left({\frac {a}{n}}\right)\left({\frac {b}{n}}\right)}
  5. ( a m n ) = ( a m ) ( a n ) {\displaystyle \left({\frac {a}{mn}}\right)=\left({\frac {a}{m}}\right)\left({\frac {a}{n}}\right)}
  6. Se a ≡ b (mod n), allora ( a n ) = ( b n ) {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {b}{n}}\right)}
  7. ( 1 n ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)=1}
  8. ( a 2 b n ) = ( b n ) {\displaystyle \left({\frac {a^{2}b}{n}}\right)=\left({\frac {b}{n}}\right)} se ( a , n ) = 1 {\displaystyle (a,n)=1}
  9. ( − 1 n ) = ( − 1 ) ( n − 1 2 ) {\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}\right)}} = 1 se n ≡ 1 (mod 4) e −1 se n ≡ 3 (mod 4)
  10. ( 2 n ) = ( − 1 ) ( n 2 − 1 8 ) {\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\left({\frac {n^{2}-1}{8}}\right)}} = 1 se n ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se n ≡ 3 o 5 (mod 8)
  11. ( m n ) = ( n m ) ( − 1 ) ( m − 1 2 ) ( n − 1 2 ) {\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=\left({\frac {n}{m}}\right)(-1)^{\left({\frac {m-1}{2}}\right)\left({\frac {n-1}{2}}\right)}}

L'ultima proprietà è molto simile alla legge di reciprocità quadratica per il simbolo di Legendre.

Residui quadratici

Se ( a n ) = − 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=-1} , allora a non è un residuo quadratico di n perché non è un residuo quadratico di qualche fattore di n. Inoltre, se ( a n ) = 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=0} , allora ( a , n ) > 1 {\displaystyle (a,n)>1} . Tuttavia, se ( a n ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=1} non si può dedurre che a sia un residuo quadratico di n perché è possibile che un numero pari di fattori di n siano non-residui, e quindi il prodotto dei loro simboli di Legendre valga ugualmente 1.

Bibliografia

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Capitolo 9.7)
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