Simbolo di Legendre

Il simbolo di Legendre è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri, e in particolare nei campi della fattorizzazione e dei residui quadratici. Esso prende il nome dal matematico francese Adrien-Marie Legendre.

Definizione

Il simbolo di Legendre è definito come segue:

Se p {\displaystyle p} è un numero primo dispari e a {\displaystyle a} è un intero, allora il simbolo di Legendre ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} è uguale a:

  • 0 {\displaystyle 0} se p {\displaystyle p} divide a {\displaystyle a} ;
  • 1 {\displaystyle 1} se a {\displaystyle a} è un quadrato modulo p {\displaystyle p} , ossia se esiste un intero k {\displaystyle k} tale che k 2 ≡ a ( mod p ) {\displaystyle k^{2}\equiv a{\pmod {p}}} , o equivalentemente se a {\displaystyle a} è un residuo quadratico modulo p {\displaystyle p} ;
  • − 1 {\displaystyle -1} se a {\displaystyle a} non è un quadrato modulo p {\displaystyle p} , cioè se a {\displaystyle a} non è un residuo quadratico modulo p {\displaystyle p} .

La generalizzazione del simbolo di Legendre a ( a n ) {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)} con n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } dispari è il simbolo di Jacobi.

Proprietà del simbolo di Legendre

Il simbolo di Legendre possiede un certo numero di proprietà che consentono di velocizzare i calcoli. Le più importanti sono:

  1. ( a b p ) = ( a p ) ( b p ) {\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)} (cioè è una funzione completamente moltiplicativa nel suo argomento superiore)
  2. Se a ≡ b (mod p), allora ( a p ) = ( b p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}
  3. ( 1 p ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {1}{p}}\right)=1}
  4. ( − 1 p ) = ( − 1 ) ( p − 1 2 ) {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)}} , cioè 1 se p ≡ 1 (mod 4) e −1 se p ≡ 3 (mod 4)
  5. ( 2 p ) = ( − 1 ) ( p 2 − 1 8 ) {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left({\frac {p^{2}-1}{8}}\right)}} , cioè 1 se p ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se p ≡ 3 o 5 (mod 8)
  6. Se q è un primo dispari, allora ( q p ) = ( p q ) ( − 1 ) ( p − 1 2 ) ( q − 1 2 ) {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right)}}

L'ultima proprietà prende il nome di legge di reciprocità quadratica.

Il simbolo di Legendre è inoltre collegato al criterio di Eulero, dimostrato da Leonardo Eulero:

( a p ) ≡ a ( p − 1 2 ) ( mod p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)}{\pmod {p}}}

Infine, il simbolo di Legendre è un carattere di Dirichlet, detto anche il carattere quadratico modulo p.

Funzioni correlate

Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che ammette come argomento un numero dispari composto al posto del primo p.

Bibliografia

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Chapter 9.2)
  • H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolo III.3
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