Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon

In elettronica e telecomunicazioni, il teorema del campionamento di Nyquist-Shannon o semplicemente teorema del campionamento, il cui nome si deve a Harry Nyquist e Claude Shannon, è un risultato di notevole rilevanza nell'ambito della teoria dei segnali.

Definisce la minima frequenza, detta frequenza di Nyquist (o anche cadenza di Nyquist), necessaria per campionare un segnale analogico senza perdere informazioni, e per poter quindi ricostruire il segnale analogico tempo continuo originario. In particolare, il teorema afferma che, data una funzione la cui trasformata di Fourier sia nulla al di fuori di un certo intervallo di frequenze (ovvero un segnale a banda limitata), nella sua conversione analogico-digitale la minima frequenza di campionamento necessaria per evitare aliasing e perdita di informazione nella ricostruzione del segnale analogico originario (ovvero nella riconversione digitale-analogica) deve essere maggiore del doppio della sua frequenza massima.

Il teorema, comparso per la prima volta nel 1949 in un articolo di C. E. Shannon, dovrebbe chiamarsi Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon (WNKS), secondo l'ordine cronologico di chi ne dimostrò versioni via via più generalizzate.

Il teorema

Il campionamento è il primo passo del processo di conversione analogico-digitale di un segnale. Consiste nel prelievo di campioni (samples) da un segnale analogico e continuo nel tempo ogni ${\displaystyle \Delta t\,\!}$ secondi. Il valore ${\displaystyle \Delta t}$ è detto intervallo di campionamento, mentre ${\displaystyle f_{s}={\frac {1}{\Delta t}}}$ è la frequenza di campionamento. Il risultato è un segnale analogico in tempo discreto, che viene in seguito quantizzato, codificato e reso accessibile a qualsiasi elaboratore digitale.

Il teorema di Nyquist-Shannon (o teorema del campionamento dei segnali) stabilisce che, dato un segnale analogico ${\displaystyle s(t)}$ la cui banda di frequenze sia limitata dalla frequenza ${\displaystyle f_{M}}$, e dato ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, il segnale ${\displaystyle s(t)}$ può essere univocamente ricostruito a partire dai suoi campioni ${\displaystyle s(n\Delta t)}$ presi a frequenza ${\displaystyle f_{s}={\frac {1}{\Delta t}}}$ se ${\displaystyle f_{s}>2f_{M}}$ mediante la seguente formula:

${\displaystyle s(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }s(k\Delta t)\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{\Delta t}}-k\right)\;\forall t\in \mathbb {R} }$

espressa in termini della funzione sinc normalizzata.

Dimostrazione

L'idea è che lo spettro di un segnale campionato è uguale allo spettro del segnale originale ripetuto periodicamente con periodo uguale alla frequenza di campionamento ${\displaystyle f_{s}}$. Se la frequenza massima del segnale originale supera ${\displaystyle f_{s}/2}$ le ripetizioni nello spettro del segnale campionato si sovrappongono, rendendo impossibile l'esatta ricostruzione del segnale originale, che risulterà distorta.

Sia ${\displaystyle F(\omega )}$ la trasformata di Fourier di ${\displaystyle f(t)}$. Poiché ${\displaystyle f(t)}$ ha come limite di banda ${\displaystyle f_{M}}$, risulta ${\displaystyle F(\omega )=0}$ per ${\displaystyle |\omega |>2\pi f_{M}}$. Sia ${\displaystyle W=f_{s}/2}$, allora per ipotesi se ${\displaystyle W\geq f_{M}}$ si ha che ${\displaystyle F(\omega )=0}$ per ogni ${\displaystyle |\omega |>2\pi W}$. Sia ${\displaystyle Q(\omega )}$ la funzione periodica di periodo ${\displaystyle 4\pi W}$ che coincide con ${\displaystyle F(\omega )}$ nell'intervallo ${\displaystyle [-2\pi W,2\pi W]}$. Il suo sviluppo in serie di Fourier è dato da:

${\displaystyle Q(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{j{\frac {n}{2W}}\omega }}$

dove:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{4\pi W}}\int _{-2\pi W}^{2\pi W}Q(\omega )e^{-j{\frac {n}{2W}}\omega }d\omega }$

Poiché ${\displaystyle Q(\omega )=F(\omega )}$ in ${\displaystyle [-2\pi W,2\pi W]}$ si può porre:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{4\pi W}}\int _{-2\pi W}^{2\pi W}F(\omega )e^{-j{\frac {n}{2W}}\omega }d\omega }$

Dato che ${\displaystyle f(t)}$ è l'antitrasformata di Fourier di ${\displaystyle F(\omega )}$, cioè:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-2\pi W}^{2\pi W}F(\omega )e^{j\omega t}d\omega }$

dalle precedenti due relazioni si ottiene:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2W}}f\left(-{\frac {n}{2W}}\right)=\Delta tf(-n\Delta t)\qquad W={\frac {f_{s}}{2}}={\frac {1}{2\Delta t}}\,\!}$

Definendo:

${\displaystyle rett_{W}(\omega )=\left\{{\begin{matrix}1\ &{\textrm {se}}\ |\omega |\leq 2\pi W\\0\ &{\textrm {se}}\ |\omega |>2\pi W\end{matrix}}\right.}$

allora:

${\displaystyle F(\omega )=Q(\omega )\cdot rett_{W}(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{j{\frac {n}{2W}}\omega }rett_{W}(\omega )=\Delta t\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(-n\Delta t)e^{jn\Delta t\omega }rett_{W}(\omega )}$

e inoltre antitrasformando:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )]=\Delta t\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k\Delta t){\frac {\sin({\frac {\pi }{\Delta t}}t-k\pi )}{\pi (t-k\Delta t)}}}$

ovvero:

${\displaystyle {\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k\Delta t){\frac {\sin[\pi ({\frac {t}{\Delta t}}-k)]}{\pi ({\frac {t}{\Delta t}}-k)}}}}$

che può essere anche espressa in termini della funzione sinc normalizzata al seguente modo:

${\displaystyle {\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k\Delta t)\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{\Delta t}}-k\right)}}$

Queste equazioni mostrano che ${\displaystyle F(\omega )}$, e quindi anche la sua antitrasformata ${\displaystyle f(t)}$, possono essere ricostruite sulla base della conoscenza di ${\displaystyle f(n\Delta t)}$, come volevasi dimostrare.

Formula di sommazione di Poisson

Sia ${\displaystyle X(f)}$ la trasformata di Fourier di una funzione a banda limitata ${\displaystyle x(t)}$, ovvero:

${\displaystyle X(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ {\rm {d}}t}$

con ${\displaystyle X(f)=0}$ per ${\displaystyle |f|>B}$. La formula di somma di Poisson mostra che i campioni ${\displaystyle x(nT)}$ di ${\displaystyle x(t)}$ sono sufficienti a creare una somma periodica di ${\displaystyle X(f)}$:

${\displaystyle X_{s}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-kf_{s}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf}}$

che è una funzione periodica equivalente alla serie di Fourier, dove i coefficienti sono ${\displaystyle T\cdot x(nT)}$. Si tratta della trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) della successione ${\displaystyle T\cdot x(nT)}$ per ${\displaystyle n}$ intero.

La somma ${\displaystyle X_{s}}$ è composta da copie di ${\displaystyle X(f)}$ traslate di un fattore ${\displaystyle kf_{s}}$. Se queste copie non si sovrappongono (ai loro estremi sull'asse delle ascisse) allora il termine ${\displaystyle k=0}$ può essere ricavato tramite il prodotto:

${\displaystyle X(f)=H(f)\cdot X_{s}(f)}$

dove:

${\displaystyle H(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{cases}1&|f|<B\\0&|f|>f_{s}-B\end{cases}}}$

In questo modo, ${\displaystyle X(f)}$ definisce univocamente ${\displaystyle x(t)}$.

Per ricostruire ${\displaystyle x(t)}$, si nota che ${\displaystyle H(f)}$ non deve essere definita in ${\displaystyle [B,f_{s}-B]}$ poiché all'interno di tale intervallo ${\displaystyle X_{s}(f)}$ è nulla.

Tuttavia, il caso peggiore si verifica quando ${\displaystyle B=f_{s}/2}$ (la frequenza di Nyquist). Una funzione che si presta allo scopo è:

${\displaystyle H(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)={\begin{cases}1&|f|<{\frac {f_{s}}{2}}\\0&|f|>{\frac {f_{s}}{2}}\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle \operatorname {rect} }$ è la funzione rettangolo. Si ha:

${\displaystyle {\begin{aligned}X(f)&=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)\cdot X_{s}(f)\\&=\operatorname {rect} (Tf)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)e^{-i2\pi nTf}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \operatorname {rect} (Tf)\cdot e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\operatorname {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\right\}}\end{aligned}}}$

La trasformata inversa di entrambi i membri produce la formula di interpolazione di Whittaker-Shannon:

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)}$

Aliasing nella conversione analogico-digitale

Ogni apparato di conversione analogico-digitale ha un filtro anti-alias a monte del campionatore, il cui ruolo è quello di eliminare dal segnale in ingresso le componenti di frequenza maggiori della metà della frequenza di campionamento dell'apparato ${\displaystyle f_{s}/2}$. Tuttavia, essendo questo filtro analogico, non è possibile tagliare le frequenze indesiderate a partire esattamente dalla frequenza massima del segnale, poiché occorrerebbe un filtro con un numero di poli elevatissimo (ognuno in grado di abbassare la pendenza della retta di taglio di -20 dB/decade).

Data l'impossibilità di realizzare filtri di ordine superiore a 11-12, solitamente si preferisce utilizzare un filtro anti-alias meno preciso con frequenza di taglio maggiore rispetto a quella imposta dal teorema di Nyquist. Questo porta ad avere un sovracampionamento di un fattore ${\displaystyle K}$, che allontana tra loro le varie repliche del segnale nel dominio della frequenza. Per ricostruire il segnale digitale si utilizza allora un filtro digitale passa-basso seguito da un blocco decimatore con il compito di eliminare i campioni ridondanti. Con questa soluzione ibrida si ottiene un filtro analogico-digitale con una pendenza elevatissima ed un costo limitato, a discapito di una maggiore velocità richiesta per il convertitore.

Se si ha a disposizione un apparato di conversione A/D che lavora ad una data frequenza ${\displaystyle f_{s}}$ e si è interessati alle componenti di un segnale che superano ${\displaystyle f_{s}/2}$ si possono seguire strade diverse: utilizzare uno strumento più veloce o utilizzare tecniche di sottocampionamento. La seconda opzione è realizzabile quando le frequenze di interesse sono racchiuse in un range del tipo:

${\displaystyle \Delta f=f_{\text{max}}-f_{\text{min}}<{\frac {f_{s}}{2}}}$

e questo è possibile anche se sia ${\displaystyle f_{\text{max}}}$ che ${\displaystyle f_{\text{min}}}$ superano ${\displaystyle f_{s}/2}$. In questo caso, tuttavia, il limite imposto dal teorema del campionamento non è più sufficiente a garantire un campionamento corretto.

Bibliografia

• Alessandro Falaschi, Cap. 4, Campionamento, quantizzazione ed elaborazione numerica (PDF), in Teoria dei segnali, 1.7ª ed., Youcanprint, giugno 2019, ISBN 9788831629799.
• (EN) J. R. Higgins, Five short stories about the cardinal series, in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 12, n. 1, DOI:10.1090/S0273-0979-1985-15293-0.
• (EN) V. A. Kotel’nikov, On the Transmission Capacity of the “Ether” and Wire in Electrocommunications, in Modern Sampling Theory, collana Applied and Numerical Harmonic Analysis, pp. 27-45, DOI:10.1007/978-1-4612-0143-4, ISBN 978-1-4612-0143-4. (english translation, PDF)
• (EN) Karl Küpfmüller, "Utjämningsförlopp inom Telegraf- och Telefontekniken", ("Transients in telegraph and telephone engineering"), Teknisk Tidskrift, no. 9 pp. 153–160 and 10 pp. 178–182, 1931. [1] [2]
• (EN) Robert J. Marks, Introduction to Shannon Sampling and Interpolation Theory, 1991, DOI:10.1007/978-1-4613-9708-3, ISBN 978-1-4613-9708-3.
• (EN) R.J. Marks II, Editor: Advanced Topics in Shannon Sampling and Interpolation Theory, Springer-Verlag, 1993.
• (EN) R.J. Marks II, Handbook of Fourier Analysis and Its Applications, Oxford University Press, (2009), Chapters 5-8. Google books.
• (EN) H. Nyquist, "Certain topics in telegraph transmission theory", Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617–644, Apr. 1928 Reprint as classic paper in: Proc. IEEE, Vol. 90, No. 2, Feb 2002.

Voci correlate

• Aliasing
• Campionamento (teoria dei segnali)
• Dithering
• Formula di interpolazione di Whittaker-Shannon
• Formula di sommazione di Poisson
• Quantizzazione (elettronica)
• Trasformata di Fourier

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul teorema del campionamento di Nyquist-Shannon

Collegamenti esterni

• (EN) sampling theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Shannon sampling theorem, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Learning by Simulations Interactive simulation of the effects of inadequate sampling
• (EN) Undersampling and an application of it, su spazioscuola.altervista.org.
• (EN) Sampling Theory For Digital Audio (PDF), su lavryengineering.com. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 14 giugno 2006).
• (EN) Journal devoted to Sampling Theory, su stsip.org.
• (EN) Sampling Theorem with Constant Amplitude Variable Width Pulse, su ieeexplore.ieee.org.