Teorema di Hopf-Rinow

In geometria differenziale, il teorema di Hopf-Rinow è un teorema relativo all’equivalenza fra alcune condizioni di completezza in una varietà riemanniana. Il nome si riferisce al matematico Heinz Hopf ed al suo studente Willi Rinow.

Il teorema

L'enunciato del teorema di Hopf-Rinow è il seguente.

Sia $M$ una varietà riemanniana connessa per archi. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$M$ è uno spazio metrico completo.
I sottoinsiemi chiusi e limitati in $M$ sono compatti.
Ogni geodetica in $M$ può essere prolungata indefinitamente. In altre parole, per ogni punto $p$ di $M$ la relativa mappa esponenziale è definita sull'intero spazio tangente $T_{p}(M)$ in $p$ .

Esempi

Spazio euclideo

Lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ con l'usuale metrica euclidea è completo. Questo perché la retta reale è uno spazio completo e il prodotto di spazi completi è completo.

Varietà compatte

Una varietà riemanniana compatta è sempre completa. Non è vero il viceversa: ad esempio lo spazio euclideo non è compatto.

Rimozione di un punto

Rimuovendo un punto $p$ da una varietà riemanniana $M$ qualsiasi si ottiene una varietà riemanniana $N$ non completa. Nessuna delle tre ipotesi elencate è infatti verificata:

Una successione di punti in $N$ convergente a $p$ è di Cauchy in $N$ ma non converge.
Sia $D$ una palla chiusa di raggio $r$ centrata in $p$ . L'insieme $D\setminus \{p\}$ è chiuso e limitato in $N$ , ma non compatto.
Se $g$ è una geodetica in $M$ attraversante $p$ , viene tagliata in due geodetiche in $N$ , ciascuna delle quali non può essere estesa indefinitivamente nella direzione di $p$ .

Dipendenza dalla metrica

La completezza di una varietà riemanniana dipende fortemente dalla metrica presente, e cioè dal suo tensore metrico. La stessa varietà differenziale può infatti essere completa o non completa, a seconda della metrica di cui è dotata.

Ad esempio, la palla unitaria

B=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}

non è completa se dotata dell'usuale metrica, indotta da quella di $\mathbb {R} ^{n}$ , ma risulta completa se dotata della metrica di Poincaré.

Bibliografia

(EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
(EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.