Teorema di Huygens-Steiner

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Il teorema di Huygens-Steiner, o teorema degli assi paralleli, permette di calcolare il momento di inerzia di un solido rispetto ad un asse parallelo a quello passante per il centro di massa evitando in molti casi (dove è presente una struttura simmetrica) il laborioso calcolo diretto.

Teorema

Enunciato

Il momento d'inerzia rispetto ad un asse ${\displaystyle a}$, parallelo ad un altro ${\displaystyle c}$ passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia rispetto a ${\displaystyle c}$ il prodotto tra la massa del corpo stesso e il quadrato della distanza tra gli assi ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle a}$.^[1]

${\displaystyle I_{z}=I_{cm}+md^{2}}$.

Dimostrazione

Si consideri un sistema di riferimento cartesiano ${\displaystyle xy}$ con l'origine nel centro di massa e un altro sistema di riferimento traslato lungo l'asse ${\displaystyle x}$ di una certa quantità, in modo che le coordinate siano ${\displaystyle y=y'}$ e ${\displaystyle x=x'-d}$, dove ${\displaystyle d}$ è la distanza tra l'asse passante per il centro di massa e quello parallelo di rotazione (rispetto al quale calcoliamo il momento).

Si consideri un elemento infinitesimo ${\displaystyle dm}$, il cui momento di inerzia rispetto al centro di massa è dato da ${\displaystyle \mathrm {d} I=R^{2}\mathrm {d} m}$. Integrando lungo tutto il corpo e considerando questo sistema di riferimento (${\displaystyle R^{2}=x^{2}+y^{2}}$) si ha che

${\displaystyle I_{cm}=\int \limits _{\text{corpo}}(x^{2}+y^{2})\mathrm {d} m}$.

Ora calcoleremo direttamente il momento di inerzia rispetto al nostro nuovo asse ${\displaystyle z}$. Si prenda dunque un elemento ${\displaystyle dm}$ e si consideri il sistema di riferimento traslato; poiché ${\displaystyle R'^{2}=x'^{2}+y'^{2}}$, applicando le trasformazioni nel sistema di riferimento precedente e integrando lungo tutto il corpo si ha

${\displaystyle I_{z}=\int \limits _{\text{corpo}}({x'}^{2}+{y'}^{2})\mathrm {d} m=\int \limits _{\text{corpo}}[(x+d)^{2}+y^{2}]\mathrm {d} m}$.

Sviluppando il quadrato si ottiene ${\textstyle I_{z}=\int \left(x^{2}+d^{2}+2xd+y^{2}\right)\mathrm {d} m}$ e, raccogliendo, si ha

${\displaystyle I_{z}=\int \limits _{\text{corpo}}[x^{2}+y^{2}]\mathrm {d} m+d^{2}\int \limits _{\text{corpo}}\mathrm {d} m+2d\int \limits _{\text{corpo}}x\mathop {} \!\mathrm {d} m}$.

Il primo termine è proprio il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa ${\displaystyle I_{cm}}$, calcolato precedentemente. Il secondo termine è pari alla quantità ${\displaystyle Md^{2}}$, mentre il terzo termine è nullo, poiché l'integrale di ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle dm}$ è l'ascissa del centro di massa nel sistema del centro di massa stesso e pertanto (essendo sull'origine) è pari a 0.

Si ottiene quindi il risultato finale:

${\displaystyle I_{z}=I_{cm}+Md^{2}}$

Generalizzazione ai tensori

Il teorema degli assi paralleli può essere generalizzato per i calcoli che coinvolgono il tensore d'inerzia. Sia I_ij il tensore d'inerzia di un corpo calcolato sul centro di massa. Allora il tensore d'inerzia J_ij calcolato relativamente al nuovo punto è

${\displaystyle J_{ij}=I_{ij}+m\left(|\mathbf {R} |^{2}\delta _{ij}-R_{i}R_{j}\right),}$

dove ${\displaystyle \mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!}$ è il vettore spostamento dal centro di massa al nuovo punto e δ_ij è la delta di Kronecker.

Per gli elementi diagonali (quando i = j), gli spostamenti perpendicolari all'asse di rotazione portano alla versione semplificata del teorema come scritto di cui sopra.

La versione generalizzata del teorema di Huygens-Steiner può essere espressa nella notazione senza riferimenti a coordinate come

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} \right],}$

dove E₃ è la matrice identità 3 × 3 e ${\displaystyle \otimes }$ è il prodotto esterno.

Un'ulteriore generalizzazione del teorema dà il tensore d'inerzia intorno a un qualunque insieme di assi ortogonali paralleli al sistema di riferimento degli assi x, y e z, associato al tensore d'inerzia di riferimento, che passino per il centro di massa o meno.^[2]

Applicazioni

Il teorema permette di dedurre la polarizzazione della luce e l'entanglement.^[3]

Note

Bibliografia

• Sergio Rosati, Fisica Generale, Casa Editrice Ambrosiana-Milano, 1982, ISBN 88-408-0368-8.

Voci correlate

• Calcolo del momento di inerzia di alcuni solidi omogenei

Altri progetti

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