Teorema di Morera

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Morera fornisce un importante criterio per determinare se una funzione è olomorfa. Prende il nome da Giacinto Morera.

Enunciato

Se ${\displaystyle f(z)}$ è una funzione continua in un dominio ${\displaystyle A}$ aperto e se:

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz=0}$

per ogni curva rettificabile chiusa ${\displaystyle \gamma }$ tutta contenuta in ${\displaystyle A}$, allora la funzione ${\displaystyle f(z)}$ è olomorfa in ${\displaystyle A}$.

Se si parametrizza ${\displaystyle \gamma }$ con la funzione ${\displaystyle z:[0,T]\to A}$ si può scrivere:

${\displaystyle \int _{0}^{T}f(z(t)){\dot {z}}(t)dt=0}$

con ${\displaystyle {\dot {z}}(t)}$ la derivata di ${\displaystyle z}$. Si tratta dell'integrazione di una 1-forma, e il teorema si può generalizzare al caso n-dimensionale.

L'inverso del teorema non vale, a meno che non si compiano ulteriori assunzioni. Ad esempio, richiedendo che ${\displaystyle A}$ sia semplicemente connesso si ottiene il Teorema integrale di Cauchy, che afferma che per ogni curva chiusa e regolare a tratti contenuta in ${\displaystyle A}$ l'integrale di linea di una funzione olomorfa lungo tale curva è nullo.

Dimostrazione

È sufficiente dimostrare che se l'integrale di ${\displaystyle f(z)}$ è nullo su qualsiasi curva ${\displaystyle \gamma \subset A}$ allora ${\displaystyle f(z)}$ ammette una primitiva, ovvero che esiste una funzione ${\displaystyle F(z)}$ tale che:

${\displaystyle {\frac {dF(z)}{dz}}=f(z)}$

Infatti se tale ${\displaystyle F(z)}$ esiste essa è analitica (dato che è derivabile e quindi valgono le condizioni di Cauchy-Riemann) e per il teorema di rappresentazione integrale essa ammette infinite derivate analitiche, pertanto ${\displaystyle f(z)}$ è analitica.

Per dimostrare l'esistenza della primitiva si fissa all'interno della curva ${\displaystyle \gamma }$ un triangolo ${\displaystyle ABC}$ con ${\displaystyle A\equiv z_{0};B\equiv z;C\equiv z+h}$. Per ipotesi si può quindi scrivere:

${\displaystyle \int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}+\int _{z}^{z+h}{f\left(w\right)dw}+\int _{z+h}^{z_{0}}{f\left(w\right)dw}=0}$

da cui, utilizzando il teorema della media, si ottiene:

${\displaystyle {\frac {\int _{z_{0}}^{z+h}{f\left(w\right)dw}-\int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}}{h}}=f\left(c\right)}$

dove ${\displaystyle c}$ è un punto del segmento ${\displaystyle [z,z+h]}$. Passando al limite per ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ (e quindi ${\displaystyle c\rightarrow z}$) si ottiene:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[{\int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}}\right]=f\left(z\right)}$

pertanto la funzione:

${\displaystyle F\left(z\right)=\int _{z_{0}}^{z}{f\left(w\right)dw}}$

è una primitiva di ${\displaystyle f(z)}$.

Bibliografia

• (EN) Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 373-374, 1985.
• (EN) Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 26, 1999.
• (EN) J.B. Conway, Functions of one complex variable , Springer (1973)
• (EN) R. Remmert, Funktionentheorie , 1 , Springer (1984)

Voci correlate

• Formula integrale di Cauchy
• Funzione analitica
• Funzione olomorfa
• Integrazione complessa
• Teorema integrale di Cauchy

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Morera, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Teorema di Morera, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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