Teorema di Stokes

In matematica, in particolare in geometria differenziale, il teorema di Stokes è un enunciato riguardante l'integrazione delle forme differenziali che generalizza diversi teoremi di calcolo vettoriale, quali il teorema della divergenza o il teorema del rotore. Prende il nome da Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), nonostante la prima formulazione del teorema sia stata attribuita a William Thomson (Lord Kelvin), che la inviò in una lettera a Stokes nel luglio del 1850.^[1]

Introduzione

Il teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce che se ${\displaystyle f}$ è una funzione reale che ammette primitiva su un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, l'integrale di ${\displaystyle f}$ su tale intervallo può essere calcolato tramite una sua primitiva:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$

Poiché ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}=f}$, si può interpretare ${\displaystyle \mathrm {d} F(x)=f(x)\mathrm {d} x}$ nel contesto più generale delle forme differenziali come il differenziale esterno della 0-forma ${\displaystyle F(x)}$.

Il teorema di Stokes generalizza il teorema fondamentale del calcolo considerando una n-forma ${\displaystyle \omega }$ e il suo differenziale esterno ${\displaystyle d\omega }$. L'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ è una varietà differenziabile di dimensione uno, avente come frontiera l'insieme ${\displaystyle \{a,b\}}$: l'integrazione di ${\displaystyle f}$ su questo intervallo può quindi essere estesa all'integrazione su una varietà ${\displaystyle M}$ di ordine maggiore, e per far questo è necessario che ${\displaystyle M}$ sia orientabile e la forma differenziale sia a supporto compatto. Il bordo di ${\displaystyle M}$, indicato con ${\displaystyle \partial M}$, è ancora una varietà ed eredita l'orientazione di ${\displaystyle M}$.

Il teorema

Sia ${\displaystyle \Omega }$ una varietà differenziabile orientata di dimensione n e sia ${\displaystyle \alpha }$ una n-forma differenziale a supporto compatto su ${\displaystyle \Omega }$.

Si supponga inizialmente che ${\displaystyle \alpha }$ sia a supporto compatto nel dominio di una carta orientata ${\displaystyle \{U,\phi \}}$. L'integrale di ${\displaystyle \alpha }$ su ${\displaystyle \Omega }$ è definito come:

${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\phi (U)}\left(\phi ^{-1}\right)^{*}\alpha }$

ovvero attraverso il pull-back di ${\displaystyle \alpha }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Più in generale, l'integrale di ${\displaystyle \alpha }$ su ${\displaystyle \Omega }$ è definito considerando una partizione dell'unità ${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$ associata al ricoprimento localmente finito ${\displaystyle \{U_{i},\phi _{i}\}}$ di carte (orientate in modo coerente):

${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\,\alpha }$

dove ogni termine nella somma è valutato attraverso il pull-back in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ precedentemente definito. Tale definizione non dipende dalla scelta della partizione dell'unità e delle carte.

Enunciato

Il teorema di Stokes afferma che se ${\displaystyle \omega }$ è una (n-1)-forma a supporto compatto su ${\displaystyle \Omega }$ e ${\displaystyle \partial \Omega }$ è la frontiera di ${\displaystyle \Omega }$, allora:

${\displaystyle \int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\int _{\partial \Omega }\omega \ \ \left(=\oint _{\partial \Omega }\omega \right)}$

dove ${\displaystyle \mathrm {d} \omega }$ è la derivata esterna di ${\displaystyle \omega }$, definita per mezzo della sola struttura di varietà. Ovvero, l'integrale di ogni forma differenziale a supporto compatto ${\displaystyle \omega }$ sulla frontiera di una varietà orientata ${\displaystyle \Omega }$ è pari all'integrale della sua derivata esterna valutato su tutta ${\displaystyle \Omega }$.

Casi particolari

Teorema del gradiente

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del gradiente.

Il teorema del gradiente afferma che:

${\displaystyle \int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi }$

per ogni 0-forma ${\displaystyle \phi }$ definita su una qualche curva differenziabile ${\displaystyle \gamma \subset \mathbb {R} ^{n}}$. Si tratta della versione del teorema di Stokes con 1-forme differenziali definite su una varietà di dimensione 1. L'enunciato opposto afferma che data una forma differenziale ${\displaystyle \omega }$ definita su un dominio contraibile, se l'integrale di ${\displaystyle \omega }$ su ogni varietà chiusa sia nullo allora esiste una forma ${\displaystyle \psi }$ tale che ${\displaystyle \omega =d\psi }$. Su un dominio contraibile ogni forma chiusa è esatta, e tale risultato è riassunto dal lemma di Poincaré.

Teorema del rotore

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del rotore.

Il teorema del rotore afferma che il flusso del rotore di determinati campi vettoriali attraverso superfici regolari dotate di bordo è uguale alla circuitazione del campo lungo la frontiera della superficie:

${\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\,d\mathbf {s} =\oint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$.

dove ${\displaystyle \mathbf {F} :\Omega \to \mathbb {R} ^{3}}$ un campo vettoriale di classe ${\displaystyle C^{1}}$, con ${\displaystyle \Omega }$ un dominio regolare contenuto in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, e ${\displaystyle S:D\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ è una superficie regolare a tratti dotata di frontiera ${\displaystyle \partial S}$.

Il campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {F} }$ può essere considerato come una 1-forma, ed in tal caso il rotore è la derivata esterna.

Teorema della divergenza

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della divergenza.

Si consideri un insieme ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}$ compatto delimitato da una superficie liscia ${\displaystyle \partial V}$. Se ${\displaystyle \mathbf {F} }$ è un campo vettoriale differenziabile con continuità (di classe ${\displaystyle C^{1}}$) definito in un intorno di ${\displaystyle V}$, si ha:^[2]

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,dv=\oint _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} }$

dove ${\displaystyle d\mathbf {s} =\mathbf {n} \ dS}$ è l'elemento di superficie (${\displaystyle \mathbf {n} }$ è il versore uscente normale). In altri termini, il flusso di ${\displaystyle \mathbf {F} }$ attraverso la superficie chiusa ${\displaystyle \partial V}$ coincide con l'integrale della divergenza di ${\displaystyle \mathbf {F} }$ svolto nel volume ${\displaystyle V}$ di cui la superficie è frontiera.^[3] Si può utilizzare il teorema di Stokes per uguagliare l'integrale su un volume n-dimensionale della divergenza di un campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {F} }$ definito sulla regione ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ all'integrale di ${\displaystyle \mathbf {F} }$ sulla superficie (di dimensione n-1) che costituisce il bordo di ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle \int _{U}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV_{n}=\oint _{\partial U}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS_{n-1}}$

In una notazione più concisa si può scrivere:

${\displaystyle \int _{V}{\dfrac {\partial F_{i}}{\partial x_{i}}}dV=\int _{S}F_{i}n_{i}\,dS}$

sicché rimpiazzando ${\displaystyle \mathbf {F} }$ con un campo tensoriale ${\displaystyle T}$ di ordine n si ottiene la generalizzazione:^[4]

${\displaystyle \int _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}dV=\int _{S}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,dS}$

dove si verifica la contrazione degli indici in entrambi i membri della relazione, per almeno un indice. Si può estendere la precedente relazione, che vale in tre dimensioni, a varietà di dimensione arbitraria.^[5][6]

Note

Bibliografia

• (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. "Stokes' Theorem." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 43, 1953.
• (EN) Stewart, James. Calculus: Concepts and Contexts. 2nd ed. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2001.
• (EN) Stewart, James. Calculus: Early Transcendental Functions. 5th ed. Brooks/Cole, 2003.
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• (DE) Joos, Georg. Theoretische Physik. 13th ed. Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1980. ISBN 3-400-00013-2

Voci correlate

• Derivata esterna
• Forma differenziale
• Teorema del gradiente
• Teorema del rotore
• Teorema della divergenza
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Altri progetti

Collegamenti esterni

• (EN) L.D. Kudryavtsev, Stokes formula, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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