Trasformata

In matematica, una trasformata è un operatore, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni che trasforma una funzione in un'altra.

Applicazioni

Una trasformata è di solito applicata ad una funzione per semplificare alcune operazioni o in generale per risolvere più facilmente dei problemi.

Dato un problema da risolvere A, che può essere un calcolo aritmetico o la risoluzione di un'equazione differenziale, uno schema esemplificativo può essere il seguente:

si trasforma il problema A in un altro problema B più semplice da risolvere;
si risolve il problema B;
si antitrasforma la soluzione del problema B nella soluzione del problema A.

Ad esempio, in aritmetica il processo di trovare il logaritmo di un prodotto può essere ridotto al più semplice processo di sommare i logaritmi dei singoli fattori: potremmo quindi avere una trasformata che trasforma numeri in altri numeri rendendo alcuni aspetti del calcolo più semplici.^[1]

Nella matematica superiore questa stessa idea viene applicata per risolvere certi tipi di equazioni differenziali. Per esempio, la trasformata di Laplace consiste nel moltiplicare una funzione $F(t)$ di una variabile reale $t$ , definita per $t>0$ , per $e^{-pt}$ , dove $p$ è una variabile complessa $x+iy$ , e poi nell'integrare i risultati rispetto a $t$ , da zero ad infinito. Ciò genera una nuova funzione $f(p)$ chiamata trasformata di Laplace di $F(t)$ . Grazie a questa trasformata la risoluzione di alcune equazioni differenziali risulta ridotta alla soluzione di un problema algebrico.^[1]

Un altro tipo di trasformata usata per algebrizzare la risoluzione di equazioni differenziali è la trasformata di Fourier^[1] che è inoltre alla base dell'analisi di Fourier cioè lo studio di problemi di analisi dei sistemi dinamici e di segnali nel dominio della frequenza (nei sistemi a tempo discreto essa è sostituita dalla trasformata zeta). L'utilizzo della trasformata di Radon o della trasformata wavelet nell'analisi di onde elettromagnetiche riflesse da superfici o corpi è alla base di molte tecniche di diagnostica medica o mappatura della superficie terrestre: grazie a tali trasformate la ricostruzione di immagini tridimensionali viene notevolmente semplificata.