Unità immaginaria

In matematica l'unità immaginaria ${\displaystyle i}$ (a volte rappresentata dalla lettera greca iota ${\displaystyle \iota }$) permette di estendere il campo dei numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$ al campo dei numeri complessi ${\displaystyle \mathbb {C} }$. L'unità immaginaria è caratterizzata dall'essere un numero il cui quadrato è uguale a ${\displaystyle -1}$.

In elettrotecnica, l'unità immaginaria viene sempre rappresentata dalla lettera ${\displaystyle j}$, poiché la lettera ${\displaystyle i}$ è già utilizzata per indicare l'intensità di corrente.

La necessità di estendere il campo dei numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nasce dal fatto che non è possibile in tale campo calcolare la radice quadrata di un numero negativo e più in generale che non tutte le equazioni polinomiali ${\displaystyle f(x)=0}$ hanno una soluzione. In particolare l'equazione ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ non ha soluzioni reali. Ma, se si considerano i numeri complessi, allora quella equazione, e in effetti tutte le equazioni polinomiali ${\displaystyle f(x)=0}$, dove ${\displaystyle f(x)}$ è un polinomio a coefficienti reali o complessi, hanno almeno una soluzione: questo fatto prende il nome di teorema fondamentale dell'algebra, e dice formalmente che ${\displaystyle \mathbb {C} }$ è la chiusura algebrica di ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Definizione

Per definizione, l'unità immaginaria ${\displaystyle i}$ è una soluzione dell'equazione

${\displaystyle x^{2}+{1}={0}.}$

L'anello ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$ (che è un campo in quanto il polinomio ${\displaystyle x^{2}+1}$ è irriducibile su ${\displaystyle \mathbb {R} }$) e ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ risultano essere isomorfi come spazi vettoriali su ${\displaystyle \mathbb {R} }$ attraverso l'isomorfismo ${\displaystyle \varphi }$ che manda ${\displaystyle a+bx}$ in ${\displaystyle (a,b)}$. In tal senso l'unità immaginaria non è altro che l'immagine di ${\displaystyle x}$ secondo ${\displaystyle \varphi }$ e si ha ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {R} [i].}$

Le operazioni sui numeri reali possono essere estese ai numeri complessi considerando ${\displaystyle i}$ come una quantità incognita durante la manipolazione delle espressioni, e poi usando la definizione per sostituire ${\displaystyle i^{2}}$ con ${\displaystyle -1}$.

i e -i

L'equazione ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ ha, in effetti, due soluzioni distinte che sono opposte. Più precisamente, una volta che è stata fissata una soluzione ${\displaystyle i}$ dell'equazione, allora ${\displaystyle -i(\neq i)}$ è anch'essa una soluzione. Dato che l'equazione stessa è l'unica definizione per ${\displaystyle i}$, sembra che questa definizione sia ambigua (più precisamente, non sia ben definita). Però non si ha alcuna ambiguità una volta che si sceglie una soluzione e la si fissa, indicandola con ${\displaystyle i}$.

Questa considerazione è sottile. Una spiegazione più precisa consiste nell'affermare che, sebbene il campo complesso definito come ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$ è unico a meno di isomorfismi, esso non è unico a meno di un unico isomorfismo. Infatti esistono esattamente due automorfismi di ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$, l'identità e l'automorfismo che manda ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle -x}$. Si noti che questi non sono solo gli unici automorfismi del campo ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ma sono gli unici automorfismi del campo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ che fissano qualunque numero reale. Si vedano le voci complesso coniugato e gruppo di Galois.

Un problema simile si ha se i numeri complessi vengono interpretati come matrici reali ${\displaystyle 2\times 2}$, perché entrambe le seguenti matrici

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\mbox{ e }}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

sono soluzioni dell'equazione ${\displaystyle x^{2}=-1}$. In questo caso l'ambiguità è dovuta alla scelta che si fa riguardo a quale sia la "direzione positiva" con cui viene percorso la circonferenza unitaria. Una spiegazione più precisa è la seguente: il gruppo degli automorfismi del gruppo ortogonale speciale ${\displaystyle \mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )}$ ha esattamente due elementi: l'identità e l'automorfismo che scambia le rotazioni in senso orario in rotazioni in senso antiorario.

Avvertenza

Talvolta l'unità immaginaria viene scritta come ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$, ma bisogna fare molta attenzione quando si manipolano formule che contengono radicali. Questa notazione è riservata alla funzione radice quadrata principale, che è definita solo per numeri reali ${\displaystyle x\geq 0}$, o alla parte principale della funzione radice quadrata complessa. L'applicazione delle proprietà delle radici quadrate principali (reali) al ramo principale delle radici quadrate complesse produce risultati scorretti:

${\displaystyle {-1}=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {({-1})\cdot ({-1})}}={\sqrt {1}}=1.}$

Infatti la regola

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}},}$

è valida solo per valori di ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ reali e non negativi.

Per evitare di fare errori nel manipolare i numeri complessi la strategia migliore è quella di non usare mai un numero negativo sotto un segno di radice quadrata che non è preceduto da ${\displaystyle \pm }$, in modo da far intendere che vengono considerate entrambe le radici.

Potenze di i

Le potenze di ${\displaystyle i}$ si ripetono periodicamente (sono cicliche con periodo ${\displaystyle 4}$):

${\displaystyle i^{-3}=i}$

${\displaystyle i^{-2}={-1}}$

${\displaystyle i^{-1}={-i}}$

${\displaystyle i^{0}=1}$

${\displaystyle i^{1}=i}$

${\displaystyle i^{2}={-1}}$

${\displaystyle i^{3}={-i}}$

${\displaystyle i^{4}={1}}$

${\displaystyle i^{5}=i}$

${\displaystyle i^{6}={-1}}$

Questa proprietà può essere espressa in forma più compatta in questo modo, dove ${\displaystyle n}$ è un qualunque intero:

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n{+1}}=i}$

${\displaystyle i^{4n{+2}}=-1}$

${\displaystyle i^{4n{+3}}=-i}$

Radici dell'unità immaginaria

Le due radici quadrate di ${\displaystyle i}$ (cioè le due soluzioni dell'equazione ${\displaystyle z^{2}=i}$) sono complesse, ricavabili dall'espressione: ${\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}}$. Ciò può essere verificato nel modo seguente:

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}\ }$	${\displaystyle =\left(\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ }$
	${\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {1}{2}}(1+i)^{2}\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}+i-{\frac {1}{2}}\ }$
	${\displaystyle =i\ }$

Per ${\displaystyle -i}$ la radice quadrata sarà quella di ${\displaystyle i}$ moltiplicata per l'unità immaginaria stessa. Quindi:

${\displaystyle {\sqrt {-i}}=\pm \ i{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\ =\pm {\frac {i-1}{\sqrt {2}}}.}$

Come per ogni altro numero complesso, le radici ${\displaystyle n}$-esime dell'unità immaginaria si calcolano facilmente tramite la sua descrizione in coordinate polari. Infatti:

${\displaystyle i=e^{{\frac {\pi }{2}}i}=e^{({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}\qquad k=0,1,2,\dots }$

Imponendo che un generico numero complesso ${\displaystyle z=\rho e^{\theta i}}$ sia radice ${\displaystyle n}$-esima di ${\displaystyle i}$ si deve avere:

${\displaystyle (\rho e^{\theta i})^{n}=e^{({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i},}$

${\displaystyle \rho e^{\theta i}=e^{({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}})i},}$

da cui:

${\displaystyle \rho =1,}$

${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}.}$

La disposizione delle radici nel piano complesso è quella di poligoni regolari inscritti nella circonferenza complessa di raggio ${\displaystyle 1}$: tenendo conto della non unicità della rappresentazione polare dei numeri complessi, per la radice quadrata avremo due radici distinte (ponendo ad esempio ${\displaystyle k=0,1}$), per la radice cubica ne avremo tre (${\displaystyle k=0,1,2}$) e così via. Ritornando alla rappresentazione nel piano complesso tramite la formula di Eulero otteniamo:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{i}}=\cos {\left({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)}+i\sin {\left({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)}\qquad k=0,1,2,\dots ,n-1.}$

i e la formula di Eulero

Prendendo la formula di Eulero ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$, e sostituendo ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ al posto di ${\displaystyle x}$, si ottiene

${\displaystyle e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i.}$

Se entrambi i membri dell'uguaglianza vengono elevati alla potenza ${\displaystyle i}$, ricordando che ${\displaystyle i^{2}=-1}$, si ottiene l'identità

${\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}2078795763\dots }$

In effetti è facile trovare che ${\displaystyle i^{i}}$ ha un infinito numero di soluzioni nella forma di

${\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}-2\pi n},}$

dove ${\displaystyle n}$ è un qualunque intero. Dal punto di vista della teoria dei numeri, ${\displaystyle i}$ è un numero irrazionale quadratico, come ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, e applicando il teorema di Gel'fond-Schneider si può concludere che tutti i valori ottenuti sopra, e in particolare ${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}}$, sono trascendenti.

Sempre dalla formula di Eulero, o elevando al quadrato ambo i membri della precedente identità ${\displaystyle e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i}$, si arriva elegantemente all'identità di Eulero:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$

che mette in relazione cinque delle più significative entità matematiche, assieme al principio di uguaglianza e le operazioni di addizione, moltiplicazione e potenza, in una semplice espressione.

Notazione alternativa

In ingegneria elettrica e campi ad essa relativi l'unità immaginaria è spesso indicata con ${\displaystyle j}$ per evitare confusione con il simbolo di corrente elettrica variabile, tradizionalmente indicato con ${\displaystyle i}$. Anche il linguaggio di programmazione Python usa ${\displaystyle j}$ per l'unità immaginaria.

Occorre prestare ulteriore attenzione ad alcuni libri di testo che definiscono ${\displaystyle j=-i}$, particolarmente in argomenti legati alla propagazione delle onde (per esempio, un'onda piana che viaggia verso destra nella direzione delle ${\displaystyle x}$ è indicata con ${\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}}$).

Alcuni testi usano la lettera greca iota per l'unità immaginaria per evitare confusione.

Bibliografia

• Giuseppe Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari nella matematica vol.1, Padova, CEDAM, 1989, ISBN 88-13-16794-6
• (EN) Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3ª ed., McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7.
• (EN) Eberhard Freitag e Rolf Busam, Complex Analysis, 2ª ed., Berlino, Springer, 2009, ISBN 978-35-40-93982-5.

Voci correlate

• Numero complesso
• Piano complesso

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• unita immaginaria, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Unità immaginaria, su MathWorld, Wolfram Research.

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