ディリクレ定理 (ディリクレていり、英:?) は、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレが証明したディリクレの定理(Dirichlet's_theorem)という名前が名付けられた定理のひとつで、フーリエ級数の収束についての定理である[1]。
解説
この定理は以下の通りに書くことができる。
実関数
が 周期 2
周期関数でありながら、連続関数、そして 開区間 (-
,
) で 極値が有限個存在するならば、関数
のフーリエ級数
は全ての
について
に一様収束する。(此処で
はフーリエ係数である。)
この記事では便宜上 関数
の周期を 2
と設定した。
証明の型
関数
が 閉区間 [-
,
]でリーマン積分可能でありながら、ある
∈ [-
,
] で連続ならばフェイェールの定理によって整数
と
について
の時、
が成り立つ。 そこで
だ。
もし、関数
のフーリエ係数
が ランダウの記号を使って
と書くことが出来れば連続な所で
のフーリエ級数は
に収束する。
上記の 「実関数
が 周期 2
の周期関数でありながら、連続関数、そして開区間 (-
,
) で極値が有限個存在する」という条件が
を成り立たせる。 その上、連続関数なので
に一様収束することも分かる。
証明
例
脚注
- ^ http://www.tokuyama.ac.jp/syllabus/2007/tex/2007937.pdf
参考文献
- 日本評論社編、エリアス・M. スタイン ラミ・シャカルチ 著、 新井仁之、杉本充、 高木啓行、 千原浩之 訳「フーリエ解析入門」2007年。ISBN 978-4-535-60891-7