一意性 (数学)

一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性質である。

これら二つの主張は論理的な意味が異なるが、文脈によってどちらの意味かは異なる。

たとえば群論における「逆元の一意性」は前者の意味で証明されるし、整数論における「素因数分解の一意性」は後者が成り立つことを主張している。

また、一意的に存在することを記号「∃!」^[1]、もしくは「∃₌₁」のように書くことができ、たとえば 　

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$　

は、「${\displaystyle n-2=4}$ を満たすような自然数 ${\displaystyle n}$ がただ一つ存在する」という意味の論理式となる。

一意性の証明

ある対象が一意性を満たすかどうかを証明する方法は、始めに目的の条件を持つ対象が存在することを証明し、次にそのような対象がもう一つあり（例: ${\displaystyle a}$ と ${\displaystyle b}$）、それらが互いに等しいこと（すなわち ${\displaystyle a=b}$）を示すことで得られる。

例えば、方程式: ${\displaystyle x+2=5}$ 満たす解が1つであることを示すには、まず少なくとも1つの解、すなわち ${\displaystyle x}$ を満たす解 ${\displaystyle 3}$ が存在することを証明しなければならない。この証明は、単に下記の方程式が成り立つことを確認すればよい:

${\displaystyle 3+2=5}$。

解が一意性であることを示すために、${\displaystyle x+2=5}$ を満たす解が、${\displaystyle a}$ と ${\displaystyle b}$ の2つ存在することを仮定して解く。 このとき、

${\displaystyle a+2=5}$ かつ ${\displaystyle b+2=5}$。

両方の方程式から等号の推移律により、

${\displaystyle a+2=b+2}$。

両辺から 2 を引くと、

${\displaystyle a=b}$。

となり、${\displaystyle x+2=5}$ を満たす解が 3 の一意に決まることが証明できた。

一般に、ある条件を満たす対象がただ一つ存在すると示すためには、存在性（少なくとも1つの対象が存在すること）と一意性（多くても1つの対象が存在すること）の両方を証明しなければならない。

一意性を証明する他の証明方法として、条件を満たす対象 ${\displaystyle a}$ が存在することを証明して、その条件を満たすすべての対象が ${\displaystyle a}$ と等しいことを証明する方法がある。

述語論理

述語（性質） P を満たす議論領域の対象 x がただ一つ存在するという命題を ∃!x P(x) と書く。これは述語論理の連言 ∧ ・含意 → ・存在記号 ∃ ・全称記号 ∀ などを用いて書かれる

${\displaystyle \exists x\,[P(x)\land \forall y\,[P(y)\rightarrow x=y]]}$

という命題を指す。同値な別の表現（あるいは定義）としては、存在性と一意性を分離した

${\displaystyle \exists x\,P(x)\land \forall y\forall z\,[[P(y)\land P(z)]\rightarrow y=z]}$

や短さに重きをおいた

${\displaystyle \exists x\,\forall y\,[P(y)\leftrightarrow x=y]}$

などがある。

関連項目

• One-hot
• 単集合

参考文献

• スティーヴン・コール・クリーネ (1952). Introduction to Metamathematics. Ishi Press International. pp. 199. doi:10.2307/2268620. OCLC 523942 
• ピーター・B・アンドリュース (2002). An introduction to mathematical logic and type theory to truth through proof (2. ed.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.. pp. 233. doi:10.1007/978-94-015-9934-4. ISBN 1-4020-0763-9. ISSN 1386-2790. LCCN 2002--3165 

脚注