一様空間

記号の定義 ― Xを集合とし、U, V ⊂ X×Xを任意の部分集合とし、さらにa ∈ Xを任意の元とするとき、以下のように記号を定義する：

• ${\displaystyle U^{-1}:=\{(y,x)\in X\times X\mid (x,y)\in U\}}$
• ${\displaystyle U\circ V:=\{(x,z)\in X\times X\mid \exists y\in X(x,y)\in U,(y,z)\in V\}}$
• ${\displaystyle U[a]:=\{y\in X\mid (a,y)\in U\}}$

定義 (一様空間) ― Xを集合とし、${\displaystyle {\mathcal {U}}\neq \emptyset }$をX×Xの部分集合の族とする。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$が以下の性質を満たすとき、組${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$を、${\displaystyle {\mathcal {U}}}$を一様構造^[1]（英: uniformity^[2]） とする一様空間^[1]（英: uniform space^[2]）といい、${\displaystyle {\mathcal {U}}}$の元を近縁^[1]（英: entourage^[3][4]、英: vicinity^[4]）という^[5]：

1. 任意のx ∈ Xと任意の近縁Uに対し、(x, x) ∈ Uである。
2. Uが近縁なら、V ⊃ Uとなる任意のV ⊂ X×Xは近縁である。
3. U、Vが近縁なら、U ∩ Vも近縁である。
4. 任意の近縁Uには${\displaystyle V\circ V\subset U}$となる近縁Vが存在する。
5. Uが近縁なら、U^-1も近縁である。

定義 ―  一様空間${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$に対し、下記の性質を満たす集合V ⊂ Xを開集合とみなす位相を定める事ができるこれを一様構造${\displaystyle {\mathcal {U}}}$がXに定める位相(英: topology of unifomity ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$)もしくは一様位相^{[1][注 1]}（英: uniform topology）という^[10]：

${\displaystyle \forall x\in V\exists U\in {\mathcal {U}}~:~U[x]\subset V}$

定理 (位相空間の一様化可能性) ― 位相空間${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$に対し、以下は同値である^[11]：

• X上の一様構造${\displaystyle {\mathcal {U}}}$が存在し、${\displaystyle {\mathcal {O}}}$は${\displaystyle {\mathcal {U}}}$が定める一様構造と一致する
• ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$は完全正則空間（詳細下記）である。

定理 (完全正則性) ― 位相空間${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$が完全正則であるとは、任意の点z ∈ Xとzを含まない任意の閉集合F ⊂ Xに対し、連続関数${\displaystyle \varphi ~:~X\to [0,1]}$で、

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=z\\0&{\text{if }}x\in F\end{cases}}}$

を満たすものが存在する事をいう^[11]。

定理 (任意の位相空間は準一様化可能) ― 任意の位相空間${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$に対し、Xの準一様構造${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$で${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$が定める位相が${\displaystyle {\mathcal {O}}}$に一致するものが必ず存在する^[9]。

定義 (一様連続性) ― ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$、${\displaystyle (Y,{\mathcal {V}})}$を一様空間とする。このとき写像

${\displaystyle f~:~X\to Y}$

が一様連続（英: uniformly continuous）であるとは、任意の${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}}$に対し、

${\displaystyle \{(x_{1},x_{2})\in X\times X\mid (f(x_{1}),f(x_{2}))\in V\}\in {\mathcal {U}}}$

が成立する事を言う^[12]。

fが一様連続な全単射で、しかもf^-1も一様連続なとき、fを一様同型写像(英: uniformly isomorphism)といい^[12]、XとYは一様同型（英: uniformly equivalent）であるという^[12]。

定理 (一様連続なら連続) ― 一様空間${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$から一様空間${\displaystyle (Y,{\mathcal {V}})}$への写像${\displaystyle f~:~X\to Y}$が一様連続なら、一様構造${\displaystyle {\mathcal {U}}}$、${\displaystyle {\mathcal {V}}}$が定める位相によりX、Yを位相空間とみなしたとき${\displaystyle f~:~X\to Y}$は連続である^[13]。

定義 ― Xを集合とし${\displaystyle {\mathcal {S}}}$をXの部分集合族とする。もし${\displaystyle {\mathcal {S}}}$を含む一様構造の中で包含関係に関して最小なもの${\displaystyle {\mathcal {U}}}$が存在すれば、${\displaystyle {\mathcal {S}}}$が${\displaystyle {\mathcal {U}}}$を生成する（英: generate^[14]）という。

定理 ― ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$が前一様構造であれば、${\displaystyle {\mathcal {S}}}$を含む最小の${\displaystyle {\mathcal {U}}}$が必ず存在する^{[14][注 3]}。具体的には以下の通りである^[14]：

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U\subset X\times X\mid }$有限個の${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\subset {\mathcal {S}}}$が存在し、${\displaystyle \cap _{i}S_{i}\subset U\}}$

定理 ― 　

• 集合Xから一様空間${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})}$への写像${\displaystyle f~:~X\to Y}$に対し、${\displaystyle f_{*}~:~(x_{1},x_{2})\in X^{2}\mapsto (f(x_{1}),f(x_{2}))\in Y^{2}}$と定義するとき、${\displaystyle f_{*}{}^{-1}({\mathcal {V}})}$は前一様構造である^{[15][注 4]}。さらに${\displaystyle f_{*}{}^{-1}({\mathcal {V}})}$を含む最小の一様構造は、fを一様連続にする最小の一様構造と一致する^[12]。
• （有限個または無限個）の前一様構造の族${\displaystyle ({\mathcal {S}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$の和集合${\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {S}}_{\lambda }}$は前一様構造である^[14]

系 ― Xを集合${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})_{\lambda \in \Lambda }}$を一様空間の族とし、各λ∈Λに対し${\displaystyle f_{\lambda }~:~X\to Y_{\lambda }}$を写像とする。

このとき全てのλ∈Λに対して${\displaystyle f_{\lambda }}$を一様連続とするX上の最小の一様構造が存在する^[16]。

定義 ― 　

• Yを一様空間${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$の部分集合とするとき、包含写像${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$を一様連続にする最小の一様構造をY上の相対一様構造（英: relative uniformity、英: relativization）という^[17]。
• 一様空間の族${\displaystyle (X_{\lambda },{\mathcal {U}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$に対し、これらの（集合としての）直積から各成分への射影${\displaystyle \pi _{\tau }~:~\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\to X_{\tau }}$を全て一様連続にする最小の一様構造を${\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }}$の直積一様構造（英: product uniformity）という^[17]。

定義 (被覆、細分、星型細分) ― 集合Xの被覆（英: covering）とはXの部分集合の集合${\displaystyle {\mathcal {A}}}$で、

${\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}A=X}$

を満たすものの事をいう。

さらに${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$をXの２つの被覆とするとき、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$が ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$の細分（英: refinement）であるとは、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$の任意の元Bに対し、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$の元Aが存在し、${\displaystyle A\subset B}$を満たす事をいう。

${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$をXの２つの被覆とするとき、 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$が ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$の星型細分^{[訳語疑問点]}（英: star refinement）であるとは、${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$に対し、

${\displaystyle \mathrm {St} (A,{\mathcal {A}})=\bigcup _{C\in {\mathcal {A}},A\cap C\neq \emptyset }C}$

と定義するとき、任意の${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$に対し、ある${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$が存在し、

${\displaystyle \mathrm {St} (A,{\mathcal {A}})\subset B}$

となる事をいう^[18]。

定義 (被覆による一様構造の定義) ― 集合X上の一様構造とは、X上の被覆の集合${\displaystyle {\mathfrak {U}}\neq \emptyset }$で以下の性質を満たすものの事をいい、${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$の元をXの一様被覆^{[訳語疑問点]}（英: uniform cover）という^[19][18]：

• 任意の${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathfrak {U}}}$に対し、ある${\displaystyle {\mathcal {C}}\in {\mathfrak {U}}}$で${\displaystyle {\mathcal {A}}}$、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$双方の星型細分になっているものが存在する。
• Xの任意の被覆${\displaystyle {\mathcal {A}}}$に対し${\displaystyle {\mathcal {A}}}$の細分で${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$の元になっているものがあれば${\displaystyle {\mathcal {A}}\in {\mathfrak {U}}}$である。

定理・定義 ― ${\displaystyle (G,{\mathcal {O}})}$を位相群とする。Gの単位元eの開近傍 ${\displaystyle O\in {\mathcal {O}}_{e}}$に対し、

${\displaystyle O_{L}=\{(x,y)\in G^{2}\mid x^{-1}y\in O\}}$、${\displaystyle O_{R}=\{(x,y)\in G^{2}\mid xy^{-1}\in O\}}$

と定義すると、

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{L}=\{O_{L}\mid O\in {\mathcal {O}}_{e}\}}$、${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}=\{O_{R}\mid O\in {\mathcal {O}}_{e}\}}$

はいずれも一様構造の基底となる。${\displaystyle {\mathcal {B}}_{L}}$、${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}}$を基底とする一様構造${\displaystyle {\mathcal {L}}}$、${\displaystyle {\mathcal {R}}}$をそれぞれGの左一様構造（英: left unifomity^[20]）、右一様構造（英: right unifomity^[20]）という。

さらに${\displaystyle {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {R}}}$を準基底とする一様構造${\displaystyle {\mathcal {T}}}$が存在し、これを両側一様構造（英: two-sided unifomity^[20]）という。

定理 ―  上と同様に記号を定義するとき、${\displaystyle {\mathcal {L}}}$、${\displaystyle {\mathcal {R}}}$、${\displaystyle {\mathcal {T}}}$が定める位相構造はいずれも${\displaystyle {\mathcal {O}}}$と一致する^[20]。

定義・定理 (密着一様構造) ― Xを集合とするとき、一元集合

${\displaystyle \{X\times X\}}$

は一様構造の公理を満たす。この一様構造を密着一様構造^{[訳語疑問点]}（英: indiscrete uniformity^[22]）という^[22]。密着一様構造が定める位相は密着位相と一致する^[22]。

定義・定理 (離散一様構造) ― Xを集合とし、${\displaystyle \Delta _{X}=\{(x,x)\in X\times X\}}$をX × Xの対角線とする。このとき、対角線を含む全ての部分集合の集合

${\displaystyle \{U\subset X\times X\mid U\supset \Delta _{X}\}}$

は一様構造の公理を満たす。この一様構造を離散一様構造^{[訳語疑問点]}（英: discrete uniformity^[22]）という^[22]。離散一様構造が定める位相は離散位相と一致する^[22]。

具体例 ―  整数の集合${\displaystyle \mathbb {Z} }$に距離

${\displaystyle d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|}$

を入れると、dから定まる一様構造は離散一様構造ではないが、dから定まる位相は離散位相である^[23]。

定義・定理 (擬距離の集合から定まる一様構造) ― Xを集合とし${\displaystyle D}$をX上定義された擬距離の集合とする。このとき、任意のd ∈ Dに対して

${\displaystyle d~:~X\times X\to \mathbb {R} }$

が（X×Xに直積一様構造を入れた際に）一様連続となる最も小さいX上の一様構造が存在する。 この一様構造を擬距離の集合Dによって定まるX上の一様構造（英: uniformity determined by D^[24]）という^[25]。

定理 (一様構造は必ず擬距離の集合から定まる) ― Xを集合とし、${\displaystyle {\mathcal {U}}}$をX上の任意の一様構造とする。このとき

${\displaystyle d~:~X\times X\to \mathbb {R} }$

が一様連続となるX上の擬距離dの集合を${\displaystyle D_{\mathcal {U}}}$とすると、${\displaystyle {\mathcal {U}}}$は${\displaystyle D_{\mathcal {U}}}$によって定まるX上の一様構造と一致する^[29]。

系 ― 任意の一様空間は擬距離空間から定まる一様空間の直積の部分集合と一様同型である^[29]。

定理 (擬距離と一様構造の両立条件) ― 一様空間${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$上の擬距離${\displaystyle d~:~X\times X\to \mathbb {R} }$が一様連続になる必要十分条件は、任意のr > 0に対し

${\displaystyle U_{d,r}:=\{(x,y)\in X\times Y\mid d(x,y)<r\}}$

が${\displaystyle {\mathcal {U}}}$の元になる事である^[31]。

系 ― ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$を一様空間とし、${\displaystyle D_{\mathcal {U}}}$を${\displaystyle {\mathcal {U}}}$に関して一様連続な擬距離全体の集合とする。 このとき、X上の擬距離の集合Eで、Eが定める一様構造が${\displaystyle {\mathcal {U}}}$に一致するものとすると、Eは${\displaystyle D_{\mathcal {U}}}$の部分集合である。

記号の定義 ― Xを集合とし、DをX上定義された擬距離の集合とし、さらに${\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$をX×X上のネットとする。このとき、

${\displaystyle \forall d\in D~:~d(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0}$

の事を

${\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0}$

と略記する^[32]。

擬距離の集合が同一の一様構造を定める条件 ― Xを集合とし、D、EをX上定義された擬距離の集合とする。 このとき、D、Eが同一の一様構造を定める必要十分条件はX×X上の任意のネット${\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$に対し、

${\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0\iff E(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0}$

が成立する事である^[33]。

擬距離の集合が同一の一様構造を定める条件 ― Xを集合とし、D、EをX上定義された擬距離の集合とする。 このとき、D、Eが同一の一様構造を定める必要十分条件はX×X上の任意のネット${\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$に対し、

${\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0\iff E(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0}$

が成立する事である^[33]。

定理 ― Xを集合とし、DをX上定義された擬距離の集合とする。さらに任意の擬距離dに対し、

${\displaystyle d_{*}(x,y):=\arctan(d(x,y))}$

と定義する。このとき、Dは

${\displaystyle E=\{d_{*}\mid d\in D\}}$

と一様同値である^[34]。しかもEは以下の意味で一様有界である^[34]

${\displaystyle \sup\{d_{*}(x,y)\mid x,y\in X,d_{*}\in E\}<\infty }$

定義・定理 (擬距離化可能性・距離化可能性) ― 集合X上の一様構造${\displaystyle {\mathcal {U}}}$がただ一つの擬距離dからなる集合${\displaystyle \{d\}}$から定まっているとき、${\displaystyle {\mathcal {U}}}$は擬距離化可能であるという。特にdが距離であれば距離化可能であるという。

一様構造${\displaystyle {\mathcal {U}}}$が擬距離化可能である必要十分条件は${\displaystyle {\mathcal {U}}}$の可算な部分集合${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {U}}}$で、以下を満たすものが存在する事である^{[35][注 5]}：

${\displaystyle \forall U\in {\mathcal {U}}\exists B\in {\mathcal {B}}~:~B\subset U}$

また${\displaystyle {\mathcal {U}}}$が擬距離化可能で、しかも${\displaystyle {\mathcal {U}}}$が定める位相がハウスドルフであれば、${\displaystyle {\mathcal {U}}}$は距離化可能である^[35]。

定理 ― Xを集合とし、${\displaystyle D=\{d_{i}\mid i\in \mathbb {N} \}}$を集合X上の可算個の擬距離の集合とし、${\displaystyle {\mathcal {U}}_{D}}$をDにより定まる一様構造とする。このとき、X上の擬距離を

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i\in \mathbb {N} }2^{-i}\arctan(d_{i}(x,y))}$

と定義すると、${\displaystyle {\mathcal {U}}_{D}}$はdにより定まる一様構造と一致する^[37]

定理 (一様連続性の特徴づけ) ― X、Yを集合とし、D、EをそれぞれX、Y上で定義された擬距離の集合とし、${\displaystyle {\mathcal {U}}}$、${\displaystyle {\mathcal {V}}}$をそれぞれD、EがX、Y上に定める一様構造とする。

このとき写像${\displaystyle f~:~X\to Y}$に対して以下は同値である^[39]：

• ${\displaystyle f~:~(X,{\mathcal {U}})\to (Y,{\mathcal {V}})}$は一様連続
• X × X上の任意のネット${\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$に対し、

${\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0\Rightarrow E(f(x_{\lambda }),f(x'_{\lambda }))\to 0}$

• 任意のε>0と任意の${\displaystyle e\in E}$に対し、あるδ>0とある有限部分集合${\displaystyle D'\subset D}$が存在し、全てのx₁, x₂∈Xに対し、

${\displaystyle \max _{d\in D'}d(x_{1},x_{2})<\delta \Rightarrow e(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon }$

• 任意のe∈Eに対し、ある有限部分集合D'⊂Dとμ(0)=0を満たすある単調増加な連続写像${\displaystyle \mu ~:~\mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$が存在し、全てのx₁, x₂∈Xに対し、

${\displaystyle e(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq \mu (\max _{d\in D'}d(x_{1},x_{2}))}$

定理 ― 上と同様に記号を定義するとき、${\displaystyle {\mathcal {L}}}$は左不変な擬距離全体の集合が定める一様構造と一致する。 同様に${\displaystyle {\mathcal {R}}}$は右不変な擬距離全体の集合が定める一様構造と一致する^[20]。

定理 (Birkhoff-Kakutani-Minkowskiの定理) ― ${\displaystyle (V,{\mathcal {O}})}$を${\displaystyle \mathbb {R} }$もしくは${\displaystyle \mathbb {C} }$上の位相ベクトル空間とする。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$がセミノルムの族から定まる必要十分条件は、${\displaystyle {\mathcal {O}}}$が局所凸である事である^[40]。

定理・定義 (コーシーネット) ― ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が${\displaystyle {\mathcal {U}}}$と一致するものとし、さらに${\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$をX上のネットとする。このとき以下の条件は全て同値であり、以下の条件の少なくとも一つ（したがって全て）を満たすとき、ネット${\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$はコーシーネットであるという^[41]：

• 任意の近縁${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$に対し、あるλ₀∈Λが存在し、${\displaystyle \lambda ,\tau \geq \lambda _{0}}$を満たす全てのλ, τ∈Λに対し、${\displaystyle (x_{\lambda },x_{\tau })\in U}$
• 任意の近縁${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$に対し、あるλ₀∈Λが存在し、${\displaystyle \lambda \geq \lambda _{0}}$を満たす全てのλ∈Λに対し、${\displaystyle x_{\lambda }\in U[x_{\lambda _{0}}]}$
• 任意のd∈Dと任意のε>0に対し、あるλ₀∈Λが存在し、${\displaystyle \lambda ,\tau \geq \lambda _{0}}$を満たす全てのλ, τ∈Λに対し、${\displaystyle d(x_{\lambda },x_{\tau })<\varepsilon }$

定理・定義 (コーシーフィルター) ― ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が${\displaystyle {\mathcal {U}}}$と一致するものとし、さらに${\displaystyle {\mathcal {F}}}$をX上のフィルターとする。このとき以下の２条件は同値であり、以下の条件の少なくとも一つ（したがって両方）を満たすとき、フィルター${\displaystyle {\mathcal {F}}}$はコーシーフィルターであるという^[41]：

• 任意の近縁${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$に対し、ある${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$が存在し、${\displaystyle F\times F\subset U}$
• 任意のd∈Dと任意のε>0に対し、ある${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$が存在し、${\displaystyle \sup _{x,y\in F}d(x,y)<\varepsilon }$

定理・定義 (一様空間の完備性) ― 一様空間${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$に対し以下の２条件は同値である。${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$が以下の条件の少なくとも一方（したがって両方）を満たすとき、${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$は完備であるという。

• X上の任意のコーシーネットは少なくとも１つ極限を持つ
• X上の任意のコーシーフィルターは少なくとも１つ極限を持つ

ここで収束は${\displaystyle {\mathcal {U}}}$が定める位相における収束である。

定理・定義 (一様空間の完備化) ― ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$を一様空間とする。このとき完備な一様空間${\displaystyle ({\bar {X}},{\bar {\mathcal {U}}})}$と単射${\displaystyle \iota ~:~X\to {\bar {X}}}$が存在し、単射${\displaystyle \iota }$によりXを${\displaystyle {\bar {X}}}$の部分集合とみなすと、${\displaystyle {\mathcal {U}}}$が${\displaystyle {\bar {\mathcal {U}}}}$の部分一様構造になっているものが存在する^[43]。この${\displaystyle {\bar {X}}}$（と${\displaystyle \iota }$の組）をXの完備化（英: completion）という。

さらに${\displaystyle {\bar {D}}}$を${\displaystyle {\bar {X}}}$上の擬距離の集合で${\displaystyle {\bar {D}}}$が定める一様構造が${\displaystyle {\bar {\mathcal {U}}}}$と一致するものとするとし、Dを${\displaystyle {\bar {D}}}$に属する擬距離をXに制限したものの集合とするとき、Dの定める一様構造は${\displaystyle {\mathcal {U}}}$に一致する^[43]。

定理・定義 (コーシー連続性) ― ${\displaystyle f~:~X\to Y}$を一様空間Xから一様空間Yへの写像とするとき、以下の２条件は同値である。以下の２条件の少なくとも１つ（したがって両方）を満たすとき、fはコーシー連続（英: Cauchy continuous）であるという^[44]：

• X上の任意のコーシーネット${\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$のfによる像は${\displaystyle (f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }}$はコーシーネットである。
• X上の任意のコーシーフィルター${\displaystyle {\mathcal {F}}}$のfによる像は${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$はコーシーフィルターである。

定理 ― ${\displaystyle f~:~X\to Y}$を一様空間Xから一様空間Yへの写像とするとき、以下が成立する：

• fは一様連続⇒fはコーシー連続⇒fは連続^[45]
• Xが完備であればfのコーシー連続性とfは連続性は同値である^[45]。
• Xを（完備とは限らない）一様空間とし、${\displaystyle {\bar {X}}}$をその完備化とし、Yを完備な一様空間とし、さらに${\displaystyle f~:~X\to Y}$をコーシー連続な関数とすると、連続関数${\displaystyle {\bar {f}}~:~{\bar {X}}\to Y}$で${\displaystyle {\bar {f}}\mid _{X}=f}$となるものが存在する^[45]。

定義・定理 (一様収束性(の一様構造、位相構造)) ― Xを集合とし、${\displaystyle {\mathcal {S}}}$をXの部分集合の集合とし、${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})}$を一様空間とし、Dを${\displaystyle {\mathcal {U}}}$を定める擬距離の集合とする。さらにF(X,Y)をXからYへの写像全体の集合とする。

さらに${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}}$、${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$に対し、

${\displaystyle W(U,S):=\{(f,g)\in F(X,Y)^{2}\mid \forall x\in S~:~(f(x),g(x))\in U\}}$

とする。このとき

${\displaystyle \{W(U,S)\mid S\in {\mathcal {S}},U\in {\mathcal {U}}\}}$

が生成するF(X,Y)上の一様構造を${\displaystyle {\mathcal {S}}}$の元に関する一様収束の一様構造（英: uniformity of uniform convergence on members of ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$）といい、この一様構造がF(X,Y)に定める位相を${\displaystyle {\mathcal {S}}}$の元に関する一様収束の位相構造（英: topology of uniform convergence on members of ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$）といい、さらにこの位相におけるネットの収束を${\displaystyle {\mathcal {S}}}$の元に関する一様収束（英: uniform convergence on members of ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$）という^[46][47]。

定理 (擬距離の集合による一様収束性の一様構造の特徴づけ) ― Xを集合とし、${\displaystyle {\mathcal {S}}}$をXの部分集合の集合とし、${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})}$を一様空間とし、Dを${\displaystyle {\mathcal {U}}}$を定める擬距離の集合とする。

${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}}$、${\displaystyle d\in D}$に対し、F(X,Y)上の擬距離d_*を

${\displaystyle d_{*}(f,g):=\sup _{x\in S}d(f(x),g(x))}$

により定義する。このとき、擬距離の集合

${\displaystyle \{d_{*}\mid d\in D\}}$

によりF(X,Y)上に定まる一様構造は${\displaystyle {\mathcal {S}}}$の元に関する一様収束の一様構造は以下の一様構造と一致する^[46][47]。

定理 ― コンパクト収束の位相構造はコンパクト開位相と一致する^[48]。

定理 ― 　

• 任意の${\displaystyle {\mathcal {S}}}$に対し、${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})}$が完備であれば、F(X,Y)上の${\displaystyle {\mathcal {S}}}$の元に関する一様収束の一様構造は完備である^[46]。
• Xが位相空間の場合、XからYへの連続写像全体の集合C(X,Y)はF(X,Y)の閉集合である^[46]。よって特に${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})}$が完備であれば、${\displaystyle {\mathcal {S}}}$の元に関する一様収束の一様構造は完備である^[46]。
• ネット${\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$が${\displaystyle {\mathcal {S}}}$の元に関してfに一様収束する必要十分条件は、${\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$が${\displaystyle {\mathcal {S}}}$の元に関してfにコーシー収束し、しかも${\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$がfに各点収束する事である^[46]。

定義 (同程度連続性) ― Xを位相空間、${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})}$を一様空間とし、ΦをXからYへの関数の集合とする。このとき以下の２つは同値であり、Φが以下の性質の一方（したがって両方）を満たす事を同程度連続であるという^[49][50]：

1. 任意のx ∈ Xと任意の${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$に対し、xの近傍Vが存在し、任意のf∈Φと任意のy∈Yに対し、${\displaystyle (f(x),f(y))\in U}$
2. 任意のx ∈ Xに対し、${\displaystyle \rho _{x}~:~F\to Y}$を${\displaystyle \rho _{x}(f)=f(x)}$と定義するとき、${\displaystyle x\in X\mapsto \rho _{x}\in F(\Phi ,Y)}$は一様連続である。

定理 (同程度連続性の擬距離の集合による特徴づけ) ― X、${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})}$、Φを上の定理と同様に取り、DをY上の擬距離の集合でDが定める一様構造が${\displaystyle {\mathcal {U}}}$に一致するものとする。このとき、Φが同程度連続である必要十分条件は任意のx ∈ Xと任意のd ∈ Dと任意のε > 0に対し、xの近傍Vが存在し、任意のf∈Φと任意のy∈Yに対し、

${\displaystyle d(f(x),f(y))<\varepsilon }$

が成立する事である^[50]：

定理 (アスコリ＝アルツェラの定理) ― Xを位相空間、${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})}$を一様空間とし、C(X,Y)をXからYへの連続関数全体の集合とし、ΦをC(X,Y)の部分集合とする。 このとき

1. Φは同程度連続
2. 任意のx ∈ Xに対し、${\displaystyle \{f(x)\mid f\in \Phi \}}$はYで相対コンパクト

であれば、ΦはC(X,Y)で相対コンパクトである^[51]。

Xが局所コンパクトであるかもしくは第一可算公理を満たす場合は、逆にΦがC(X,Y)で相対コンパクトであれば、1, 2を満たす^[51]。

定理 (コンパクトな一様空間からの連続写像は一様連続) ― X、Yを一様空間とし、Xが（X上の一様構造が定める位相に関して）コンパクトであるとする。このときXからYへの連続写像は必ず一様連続になる^[52]

系 (コンパクトな一様空間からの連続写像は一様連続) ― ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$をコンパクトな位相空間とするとき、Xの一様構造${\displaystyle {\mathcal {U}}}$で、${\displaystyle {\mathcal {U}}}$が定める位相が${\displaystyle {\mathcal {O}}}$と一致するものは（もし存在すれば）一意である^[52]。

定義・定理 (一様空間における全有界性) ― ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が${\displaystyle {\mathcal {U}}}$と一致するものとする。

このとき以下の条件は全て同値である。これらの条件の少なくとも１つ（したがって全て）を満たすとき、${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$は全有界(英: totally bounded)もしくはプレコンパクト(英: precompact)であるという^[53][54]。

• 任意の近縁${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$に対し、ある有限集合F∈Xが存在し、${\displaystyle \cup _{x\in F}U[x]=X}$である。
• 任意の擬距離d∈Dと任意の実数ε>0に対し、Xの有限部分集合Fが存在し、${\displaystyle \cup _{x\in F}\{y\mid d(x,y)<\varepsilon \}=X}$が成立する。
• X上の任意のネットは部分ネットでコーシーなものを持つ。