De hyperexponentiële verdeling is een continue kansverdeling.
Definitie
Een stochastische variabele
heet hyperexponentieel verdeeld, als
met kans
verdeeld is als een toevalsvariabele
die exponentieel verdeeld is met parameter
.
De kansdichtheid is voor
gegeven door:
![{\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c4f00438c9f9776000e86fa8d102ed4bcd3184)
Eigenschappen
De verwachting van een hyperexponentieel verdeelde toevalsvariabele
is:
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }x\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\operatorname {E} (X_{i})=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbedad975f6936e6ac6d29f42ac024d5a1c5bdfd)
De momentgenererende functie van de hyperexponentiële verdeling is:
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}p_{i}M_{X_{i}}(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573a53edfb38fbb06a19cea98f4df79b73f0ef0f)