Ondergroep (wiskunde)

In de groepentheorie is een ondergroep of deelgroep^[1] ${\displaystyle H}$ van een gegeven groep ${\displaystyle G}$ met de groepsbewerking ${\displaystyle *}$ een deelverzameling van ${\displaystyle G}$ die zelf ook een groep is bij dezelfde groepsbewerking ${\displaystyle *}$. Dat ${\displaystyle H}$ een ondergroep is van ${\displaystyle G}$, wordt genoteerd met ${\displaystyle H\leq G}$.

Definitie

De deelverzameling ${\displaystyle H\subseteq G}$ van een groep ${\displaystyle (G,*)}$ heet een ondergroep van ${\displaystyle (G,*)}$, als ${\displaystyle H}$ met de groepsbewerking ${\displaystyle *}$ van ${\displaystyle (G,*)}$ zelf een groep is.

Dat houdt in dat de beperking van de bewerking ${\displaystyle *}$ tot ${\displaystyle H}$ voldoet aan de axioma's voor groepsbewerking.

Als de ondergroep ${\displaystyle H}$ van een groep ${\displaystyle G}$ gevormd wordt door een echte deelverzameling van ${\displaystyle G}$, is ${\displaystyle (H,*)}$ een echte ondergroep van ${\displaystyle (G,*)}$. Voor iedere groep ${\displaystyle G}$ is er de triviale ondergroep met alleen het neutrale element.

Nevenklassen

Gegeven een groep ${\displaystyle (G,*)}$ en een ondergroep ${\displaystyle H\leq G}$, dan onderscheidt men voor ieder element ${\displaystyle g\in G}$ de nevenklassen van ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$. De linkernevenklasse ${\displaystyle gH}$ van ${\displaystyle H}$ bepaald door ${\displaystyle g}$ is

${\displaystyle gH=\{gh\mid h\in H\}}$

en de rechternevenklasse ${\displaystyle Hg}$

${\displaystyle Hg=\{hg\mid h\in H\}}$.

Iedere ondergroep ${\displaystyle H}$ van een groep ${\displaystyle G}$ heeft in ${\displaystyle G}$ altijd evenveel linker- als rechternevenklassen. Een ondergroep heet een normaaldeler van de groep als linker- en rechternevenklassen samenvallen.

Orde

Voor een eindige groep ${\displaystyle G}$ kan de orde, dat wil zeggen het aantal elementen, van die groep door de orde van alle ondergroepen ${\displaystyle H}$ ervan worden gedeeld. Dat is de stelling van Lagrange. Het quotiënt van de orde van ${\displaystyle G}$ en van ${\displaystyle H}$ is het aantal nevenklassen van ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$.

Eigenschappen

• Het neutrale element van een ondergroep ${\displaystyle H\leq G}$ is hetzelfde als het neutrale element van ${\displaystyle G}$ zelf.
• De inverse ${\displaystyle h^{-1}}$ van een element ${\displaystyle h\in H}$ in een ondergroep ${\displaystyle H\leq G}$ is gelijk aan de inverse ${\displaystyle h^{-1}}$ van het element in de groep ${\displaystyle h\in G}$.
• De doorsnede van twee ondergroepen is ook een ondergroep.
• Een deelverzameling ${\displaystyle H\subseteq G}$ is dan en slechts dan een ondergroep van de groep ${\displaystyle G}$, als in ${\displaystyle H}$ tenminste het neutrale element voorkomt, ${\displaystyle H}$ gesloten is onder de groepsbewerking en de inverse ${\displaystyle h^{-1}}$ van ieder element ${\displaystyle h\in H}$ ook een element van ${\displaystyle H}$ is. Dit houdt in: dat met ${\displaystyle a,b\in H}$ ook ${\displaystyle ab\in H}$ en ${\displaystyle a^{-1}\in H}$.
• Als ${\displaystyle H}$ eindig is, dan is ${\displaystyle H}$ dan en slechts dan een ondergroep van ${\displaystyle G}$, als ${\displaystyle H}$ gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element ${\displaystyle a\in H}$ een eindige cyclische ondergroep van ${\displaystyle H}$ en is de inverse van ${\displaystyle a}$ gelijk aan ${\displaystyle a^{-1}=a^{n-1}}$, waarin ${\displaystyle n}$ de orde is van ${\displaystyle a}$. Dat betekent dat ${\displaystyle n}$ het kleinste getal is, zodat ${\displaystyle a^{n}=e}$ met ${\displaystyle e}$ het neutrale element van ${\displaystyle G}$ en van ${\displaystyle H}$.
• Ieder element ${\displaystyle a}$ van een groep ${\displaystyle G}$ genereert een cyclische ondergroep ${\displaystyle \langle a\rangle }$. Als er een positief geheel getal ${\displaystyle n}$ is zodanig dat ${\displaystyle \langle a\rangle }$ isomorf is met ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, dan is ${\displaystyle n}$ gelijk aan de orde van ${\displaystyle a}$. Is ${\displaystyle \langle a\rangle }$ isomorf met ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, dan zegt men dat ${\displaystyle a}$ van een oneindige orde is.
• Voor een deelverzameling ${\displaystyle S\subseteq G}$ bestaat er een kleinste ondergroep ${\displaystyle H}$ die ${\displaystyle S}$ omvat. ${\displaystyle H}$ is de doorsnede van alle ondergroepen die ${\displaystyle S}$ omvatten, wordt aangeduid met ${\displaystyle \langle S\rangle }$ en de door ${\displaystyle S}$ voortgebrachte ondergroep genoemd. Een element van ${\displaystyle G}$ is dan en slechts dan een element van ${\displaystyle \langle S\rangle }$ als het een eindig product is van elementen van ${\displaystyle S}$ en hun inverses.
• De ondergroepen van een groep vormen onder inbedding een volledige tralie die de tralie van ondergroepen wordt genoemd.
• Ondergroepen van cyclische groepen zijn ook cyclisch.
• De vereniging van ondergroepen is alleen dan een ondergroep in het triviale geval dat een van beide ondergroepen de andere omvat.

Voorbeeld

Laat ${\displaystyle G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}}$ een commutatieve groep zijn met als groepsbewerking de optelling modulo acht. De cayley-tabel van de groep is

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Het neutrale element onder optellen van deze groep is 0. Deze groep wordt onder optellen door het element 1 voortgebracht, dus is een cyclische groep. De groep heeft een paar niet-triviale ondergroepen: ${\displaystyle J=\{0,4\}}$, ${\displaystyle H=\{0,2,4,6\}}$ en ${\displaystyle J}$ is een ondergoep van ${\displaystyle H}$. De cayley-tabel voor ${\displaystyle H}$ bestaat uit het linkerboven kwadrant van de cayley-tabel voor ${\displaystyle G}$.