Black-Scholes

Black-Scholes er et begrep hentet fra matematisk finans som brukes løst om tre ulike ting:

• Den stokastiske differensialligningen som ofte brukes som modell for et verdipapir, som for eksempel en aksje.
• Den partielle differensialligningen som utledes fra modellen i punktet over.
• Løsningen av den partielle differensialligningen i punktet over.

Begrepet tar sitt navn fra forfatterne Fisher Black og Myron Scholes som arbeidet med prissetting av en Europeisk opsjon på begynnelsen av 1970-tallet. Sammen med Robert C. Merton, som først innførte begrepet, løste de problemet med å finne en rettferdig pris på en Europeisk opsjon gitt visse betingelser. Senere ble Merton og Scholes tildelt Sveriges Riksbanks pris i økonomisk vitenskap til minne om Alfred Nobel for sitt arbeid i 1997, mens Black ikke kunne motta prisen da han døde i 1995.

Black-Scholes som en stokastisk prosess

Som en stokastisk differensialligning er Black-Scholes-modellen formulert på følgende vis:

${\displaystyle dS_{t}=\alpha S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}$

under antagelsene at både driften ${\displaystyle \alpha }$ og volatiliteten ${\displaystyle \sigma }$ er konstante. Videre er "støyen" ${\displaystyle W_{t}}$ en standard Brownsk bevegelse, og følgende antagelser er gjort med tanke på markedet og aksjen:

• Short-salg er tillatt.
• Det er ingen transaksjonskostnader.
• Markedet er arbitrasje-fritt.
• Aksjen betaler ikke ut fortjeneste.
• Handel foregår kontinuerlig.
• Man kan handle fraksjoner av en aksje.
• Man kan låne penger i banken til en gitt risiko-fri rente.

Denne modellen kan løses analytisk og gir da en pris for en Europeisk opsjon under disse antagelsene kombinert med startbetingelsen ${\displaystyle S_{0}}$. Dette gjøres blant annet på online opsjonskalkulatore slik den Oslo Børs benytter [1]^{[død lenke]}.

Black-Scholes som en partiell differensialligning

Fra Black-Scholes modellen over kan man utlede en partiell differensialligning. Dette kan gjøres på flere måter, avhengig av hvilken teknikk man bruker.

Arbitrasje-fri utledning

Under antagelsene at man har et komplett marked kan man bruke Feynman-Kacs teorem samt den karakteristiske generatoren assosiert med Black-Scholes stokastiske differensialligningen. Fra dette får man den partielle differensialligningen

${\displaystyle u_{t}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}u_{xx}+rxu_{x}-xu=0}$

med sluttbetingelsen

${\displaystyle u(x,T)=\max(S-K,0).}$

Utledning med delta-hedging

Ved å komponere en portefølje bestående av en aksje og en opsjon kan man finne en arbitrasje-fri pris ved bruk av delta hedging. Vi tar utgangspunkt i at aksjedynamikken beskrives ved

${\displaystyle dS_{t}=\alpha S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}$

og at opsjonen kan beskrives som en funksjon av denne, slik at

${\displaystyle V:=V(S,t)=\left(\alpha S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}dW_{t}}$

ved bruk av Itôs lemma.

Nå konstruerer vi en portefølje med én opsjon og ${\displaystyle n}$ aksjer, og får da følgende:

${\displaystyle \Pi =V+nS}$.

Dersom vi holder antallet aksjer fiksert over et lite tidsintervall ${\displaystyle dt}$ vil porteføljens verdi forandre seg etter relasjonen

${\displaystyle d\Pi =dV+ndS.}$

Setter vi nå inn for ${\displaystyle dV}$ og ${\displaystyle dS}$ gitt over finner vi at

${\displaystyle d\Pi =\sigma S\left({\frac {\partial V}{\partial S}}-n\right)dW_{t}+\left(\alpha S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}-\alpha nS\right)dt.}$

Siden vi ønsker at all usikkerhet skal bort – vi vil hedge – velger vi ${\displaystyle n={\frac {\partial V}{\partial S}}}$ i starten av tidsintervallet ${\displaystyle dt.}$ Nå har vi en portefølje hvor usikkerheten er fjernet og endringen er helt deterministisk:

${\displaystyle d\Pi =\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.}$

Ved arbitrasjeargumenter må verdien til porteføljen være ${\displaystyle r\Pi dt}$, og vi finner at

${\displaystyle r\Pi dt=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.}$

Setter vi nå inn for ${\displaystyle \Pi }$ og ${\displaystyle n}$ finner vi Black-Scholes partielle differensialligning:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0.}$

Kritikk

Portfolio.com ved Michael Lewis skrev i 2008 en kritisk artikkel^[1] som omhandler denne modellen.

Referanser