Buelengde

Buelengde eller kurvelengde er i geometri lengden av en bue, det vil si et vilkårlig segment av en kurve.^[1] For at lengden skal være definert, må buen kunne «rettes ut», og dette setter matematisk krav til definisjon av kurven.

Beskrivelse av kurver blir ofte enklere og mer elegant når buelengden brukes som parameter i kurvedefinisjonen, sammenlignet med andre valg av parameter.

Prinsippet for definisjonen av buelengde

En kurve i planet kan tilnærmes ved å trekke linjestykker mellom et endelig sett av punkt på kurven. Linjestykkene definerer en kurve som er stykkevis lineær. Lengden av hvert linjestykke lar seg lett bestemme ved hjelp av Pythagoras’ læresetning, og lengden av den stykkevis lineære linjen er lik summen av linjestykke-lengdene. Dersom den krumme kurven er tilstrekkelig glatt, så vil lengden av den stykkevis lineære kurven nærme seg lengden av den opprinnelige kurven når vi øker antallet punkt i settet brukt til å definere tilnærmingen.

For mange kurver vil det eksistere en minste øvre skranke ${\displaystyle L}$ for lengden av den stykkevis lineære kurven. Slike kurver sies å være «rektifiserbare», det vil si i stand til å kunne rettes ut. Verdien ${\displaystyle L}$ defineres som buelengden til den opprinnelige kurven.

Buelengden for en glatt romkurve

En romkurve er en kurve i det euklidske rommet ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$, definert med en parameterframstilling

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} \qquad t\in [a,b]\,}$

Kurven er glatt når funksjonene ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle y(t)}$ og ${\displaystyle z(t)}$ er deriverbare og de deriverte er kontinuerlige. For en slik romkurve er buelengden gitt ved^[2]

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}|\mathbf {r} \ '(t)|\,dt==\int _{a}^{b}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\;dt\ .}$

Her betyr merket den deriverte med hensyn på parameteren ${\displaystyle t}$, slik at ${\displaystyle x'=dx/dt}$.

Som eksempel kan vi se på lengden av en full sirkelbue, gitt ved parametriseringen

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R\cos t\,\mathbf {i} +R\sin t\,\mathbf {j} \qquad t\in [0,2\pi )\,}$

Formelen for buelengden gir det kjente resultatet

${\displaystyle L=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(-R\sin t)^{2}+(-R\cos t)^{2}}}=2\pi R.}$

Buelengden til en funksjonsgraf

Grafen til en reell funksjon av en variabel er en kurve med parametriseringen

${\displaystyle \mathbf {r} (x)=x\mathbf {i} +f(x)\mathbf {j} \qquad x\in [a,b]\,}$

Buelengden av funksjonsgrafen er dermed gitt ved

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx}$

Buelengden til en plan kurve i polarkoordinater

For en plan kurve ${\displaystyle r=r(\theta )}$ i polarkoordinater er buelengden

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}(\theta )+r'(\theta )^{2}}}\,d\theta }$

for intervallet ${\displaystyle \theta \in [a,b]}$.

Referanser

Litteratur

• D.J. Struik (1961). Lectures on classical differential geometry. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8. 

Eksterne lenker

• Om buelengde hos realisten.com Besøkt 11. desember 2019.