Cauchy–Schwarz’ ulikhet

Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Hermann Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.

Om ulikheten

For vektorer ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2})}$ og ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})}$ i planet sier ulikheten at:

${\displaystyle |u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}|\leq {\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}}$.

Generelt gjelder: For vektorer ${\displaystyle \mathbf {u} }$ og ${\displaystyle \mathbf {v} }$ i et reelt vektorrom med indreprodukt ${\displaystyle \cdot }$, eksempelvis det Euklidske n-rommet ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, er

${\displaystyle |\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$.

Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)\geq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}}$

Der elementene i følgende ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$og ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}}$er i den reelle tallmengden

Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i Course d’analyse (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.

Eksempler

Vinkler

Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik ${\displaystyle 0}$, er veldefinert. Denne vinkelen ${\displaystyle \theta }$ er spesifisert ved

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}}$ og ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$.

Amplitude for svingninger

Svingninger beskrives ved en funksjon ${\displaystyle f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)}$, hvor ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ er parametere. Ved å se på ${\displaystyle (a,b)}$ og ${\displaystyle (\cos(x),\sin(x))}$ som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at

${\displaystyle |f(x)|=|a\cos(x)+b\sin(x)|\leq {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

siden ${\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1}$.

Bevis

Dersom ${\displaystyle \mathbf {u} }$ eller ${\displaystyle \mathbf {v} }$ er lik ${\displaystyle 0}$, så er ulikheten opplagt. Anta derfor at begge vektorene er ulik ${\displaystyle 0}$.

La ${\displaystyle t}$ være en skalar, og se på vektoren ${\displaystyle t\mathbf {u} +\mathbf {v} }$. Vi har

${\displaystyle (t\mathbf {u} +\mathbf {v} )\cdot (t\mathbf {u} +\mathbf {v} )\geq 0}$.

Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i ${\displaystyle t}$, får vi

${\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}t^{2}+2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )t+\|\mathbf {v} \|^{2}\geq 0}$.

Et annengradspolynom ${\displaystyle at^{2}+bt+c}$ er større enn eller lik ${\displaystyle 0}$ for alle ${\displaystyle t}$ dersom ${\displaystyle a\geq 0}$ og diskriminanten ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ er mindre enn eller lik ${\displaystyle 0}$. I vårt tilfelle fås:

${\displaystyle (2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ))^{2}-4\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}\leq 0}$.

En rydder opp og ser at:

${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}}$.

Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:

${\displaystyle |\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$.

Referanser

Eksterne lenker

• Video om Cauchy–Schwarz’ ulikhet