Darwin-vekselvirkning

Darwins vekselvirkning beskriver energien til ladete partikler i bevegelse som skyldes de elektriske og magnetiske kreftene mellom dem. Hvis hastighetene til partiklene har en omtrentlig verdi v, har denne energien en størrelsesorden som er en brøkdel v²/c² av den vanlige Coulomb-energien til partiklene når c  er lyshastigheten. Darwin-vekselvirkningen kan derfor betraktes som en relativistisk korreksjon til den elektriske energien og skyldes at en partikkel i bevegelse skaper et magnetfelt som påvirker andre partikler ved Lorentz-kraften.

Dette bidraget til den klassiske elektrodynamikken ble beregnet av den engelske fysiker Charles Galton Darwin et par år før moderne kvantemekanikk var etablert.^[1] Man visste allerede da fra Bohrs atommodell at elektronene i et atom har meget høye hastigheter som kan nærme seg lyshastigheten. Det var derfor av viktighet å forstå hvordan dette ville påvirke de elektriske kreftene som holdt elektronene på plass i atomet. I kvantemekanisk sammenheng er denne vekselvirkningen senere benyttet til å beregne korreksjoner til energien av atomer med flere elektroner og andre systemer med mange ladete partikler i bevegelse.^[2]

Klassisk beregning

En partikkel med masse m  og elektrisk ladning q  som beveger seg med hastighet v i en kombinasjon av et elektrisk skalarpotensial Φ = Φ(r,t)  og et magnetisk vektorpotensial A = A(r,t), er beskrevet ved Lagrange-funksjonen

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-q(\Phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )}$

Den gjelder også for relativistisk bevegelse der partikkelens hastighet nærmer seg lyshastigheten, v → c. Mens både potensialene Φ  og A forandres under gaugetransformasjoner, vil denne Lagrange-funksjonen forbli uforandret. Denne friheten tillater at man kan påtvinge vektorpotensialet betingelsen ∇ ⋅ A = 0. Det kalles valg av Coulomb-gauge fordi det elektriske potensialet fra en ladning q da vil være Φ = q/4π ε₀r  selv om den er i bevegelse.^[3]

Vektorpotensial

En slik ladning i bevegelse vil samtidig skape et magnetfelt B = ∇ × A. Så lenge hastigheten er ikke-relativistsisk v << c, er dette gitt ved Biot-Savarts lov

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}{\mathbf {v} \times \mathbf {r} \over r^{3}}={\frac {q\,\mathbf {v} \times \mathbf {n} }{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r^{2}}}}$

der enhetsvektoren n = r/r  peker fra ladningen til det punkt hvor feltet opptrer. Det tilsvarende vektorpotensialet er

${\displaystyle \mathbf {A} ={q\,\mathbf {v} \over 4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}$

På grunn av faktoren c² i nevneren vil dette magnetiske bidraget til energien være mye mindre enn Coulomb-leddet. Men de to bidragene kan ikke uten videre sammenlignes da denne formen av vektorpotensialet ikke oppfyller gaugebetingelsen ∇ ⋅ A = 0. Det kan nå gjøres ved gaugetransformasjon A → A + ∇ χ  hvis man velger χ = - r⋅v/2r multiplisert med konstanten q/4π ε₀c². Det transformerte vektorpotensialet blir dermed

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={q \over 4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}\left[{\mathbf {v} \over r}-{\mathbf {v} \over 2r}+{\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} ) \over 2r^{3}}\right]\\&={q \over 4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}\left[{\mathbf {v} \over 2r}+{\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} ) \over 2r^{3}}\right]\end{aligned}}}$

Dette kan nå benyttes til å finne Darwin-vekselvirkningen.^[4]

Lagrange-funksjon

Hvis man betrakter en ladet partikkel q₁ med hastighet v₁ som beveger seg under påvirkning av en annen partikkel med q₂ og hastighet v₂, vil den fulle Lagrange-funksjonen splittes opp i to deler som L = L_kin + L_int . Ved å ta med den første relativistiske korreksjonen til den kinetiske energien, blir denne for begge partiklene

${\displaystyle L_{kin}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {v} _{1}^{2}{\Big (}1+{\mathbf {v} _{1}^{2} \over 4c^{2}}{\Big )}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {v} _{2}^{2}{\Big (}1+{\mathbf {v} _{2}^{2} \over 4c^{2}}{\Big )}}$

Darwin-vekselvirkningen mellom partiklene kan nå sies å følge fra potensialene som partikkel 2 skaper og som virker på partikkel 1. Den er derfor gitt ved

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{int}&=q_{1}\mathbf {v} _{1}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} _{1},t)-q_{1}\Phi (\mathbf {r} _{1},t)\\&=-{q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}+{q_{1}q_{2} \over 8\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}{\Big [}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}+(\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {n} )(\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {n} ){\Big ]}\end{aligned}}}$

hvor nå vektoren r = r₁ - r₂  gir separasjonen mellom partiklene. Denne koblingen avhenger både av partiklenes avstand og deres hastigheter. Dette er i overensstemmelse med resultatet til Darwin som ble utledet på en litt annen måte.^[1]

Hamilton-funksjon

Denne vekselvirkningen tilsvarer også en bestemt vekselvirkningsenergi. Den følger fra den tilsvarende Hamilton-funksjonen

${\displaystyle H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}-L}$

hvor de konjugerte impulsene finnes fra definisjonen p = ∂L/∂v. Det gir

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}{\Big (}1+{\mathbf {v} _{1}^{2} \over 2c^{2}}{\Big )}+{q_{1}q_{2} \over 8\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}{\Big [}\mathbf {v} _{2}+\mathbf {n} (\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {n} ){\Big ]}}$

og tilsvarende for den andre partikkelen. Resultatet kan igjen skrives på formen H = H_kin + H_int . Den kinetiske energien er nå gitt som

${\displaystyle H_{kin}={\Big (}1-{\mathbf {p} _{1}^{2} \over 4m_{1}^{2}c^{2}}{\Big )}{\mathbf {p} _{1}^{2} \over 2m_{1}}+{\Big (}1-{\mathbf {p} _{2}^{2} \over 4m_{2}^{2}c^{2}}{\Big )}{\mathbf {p} _{2}^{2} \over 2m_{2}},}$

mens vekselvirkningsenergien er

${\displaystyle H_{int}={q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}-{q_{1}q_{2} \over 8\pi \varepsilon _{0}m_{1}m_{2}c^{2}r}{\Big [}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{2}+(\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {n} )(\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {n} ){\Big ]}}$

Denne kan uttrykkes ved hastighetene til partiklene ved å skrive p = m v i det siste leddet samtidig som det skifter fortegn.^[5]

Kvantemekanisk beregning

Den relativistiske korreksjonen til Coulomb-energien som Darwin-vekselvirkningen beskriver, har lignende form som bidraget fra den kvantemekaniske utveksling av transverse fotoner mellom de to partiklene. Dette kommer spesielt tydelig frem i Coulomb-gaugen ∇ ⋅ A = 0. For et foton med fireimpuls k^μ = (ω /c, k) vil da den Fourier-transformerte Coulomb-energien tilsvare vekselvirkningen

${\displaystyle H_{int}^{C}(\mathbf {k} )={q_{1}q_{2} \over \varepsilon _{0}\mathbf {k} ^{2}}}$

I tillegg vil et transvers foton kunne utveksles mellom de to partiklene.^[6] Har det en polarisjonsvektor e_λ, vil det koble til en partikkel med styrken -q e_λ⋅p/m  når den har impuls p. Denne kan være impulsen enten før eller etter koblingen da k⋅e_λ = 0  i denne gaugen. Ved å ta i bruk propagatoren for dette transverse fotonet, gir koblingen nå vekselvirkningsenergien

${\displaystyle H_{int}^{tr}(\mathbf {k} )={q_{1}q_{2} \over m_{1}m_{2}}{1 \over \varepsilon _{0}(\omega ^{2}-c^{2}\mathbf {k} ^{2})}\sum _{\lambda =1,2}(\mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {p} _{1})(\mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {p} _{2})}$

Frekvensen ω  i nevneren er forbundet med forandringen av energien til partikkelen som fotonet kobler til, og kan neglisjeres i forhold til c k med den nøyaktighet som benyttes her. Summen over polarisasjonsvektorene er gitt ved

${\displaystyle \sum _{\lambda =1,2}e_{\lambda i}e_{\lambda j}=\delta _{ij}-{k_{i}k_{j} \over \mathbf {k} ^{2}}}$

slik at den transverse vekselvirkningsenergien blir

${\displaystyle H_{int}^{tr}(\mathbf {k} )=-{q_{1}q_{2} \over \varepsilon _{0}m_{1}m_{2}c^{2}\mathbf {k} ^{2}}{\Big [}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{2}-{1 \over \mathbf {k} ^{2}}(\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {k} )(\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {k} ){\Big ]}}$

Den representerer bidraget fra de magnetiske koblingene i den klassiske beskrivelsen.

Fourier-integral

Vekselvirkningen i det fysiske rommet følger fra en tredimensjonal Fourier-transformasjon. På den måten fremkommer det vanlige Coulomb-potensialet,

${\displaystyle \int \!{d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{1 \over \mathbf {k} ^{2}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }={1 \over 4\pi r}}$

hvor r = |x|. Den deriverte av dette integralet med hensyn til x_i  gir

${\displaystyle \int \!{d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{k_{i} \over \mathbf {k} ^{2}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }={ix_{i} \over 4\pi r^{3}}}$

Tilsvarende fremgangsmåte kan også brukes til å beregne integralet som inngår i den transverse vekselvirkningen,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \!{d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{k_{i}k_{j} \over \mathbf {k} ^{2}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }&={i \over 2}{\partial \over \partial x_{i}}\int \!{d^{3}k \over (2\pi )^{3}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }{\partial \over \partial k_{j}}{1 \over \mathbf {k} ^{2}}\\&={\partial \over \partial x_{i}}{x_{j} \over 8\pi r}={1 \over 8\pi r}\left(\delta _{ij}-{x_{i}x_{j} \over r^{2}}\right)\end{aligned}}}$

etter en partiell integrasjon i k-rommet der overflatetermen kan neglisjeres.^[2] Tilsammen gir nå disse bidragene

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{int}(\mathbf {r} )&={q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}-{q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}m_{1}m_{2}c^{2}r}{\Big [}\delta _{ij}-{1 \over 2}\left(\delta _{ij}-{x_{i}x_{j} \over r^{2}}\right){\Big ]}p_{1i}p_{2j}\\&={q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}-{q_{1}q_{2} \over 8\pi \varepsilon _{0}m_{1}m_{2}c^{2}r}{\Big [}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{2}+{1 \over r^{2}}(\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {r} ){\Big ]}\end{aligned}}}$

som er den opprinnelige Darwin-vekselvirkningen. Selv om dette representerer en kvantemekanisk utledning, er Plancks konstant ħ  falt ut av resultatet. Det følger også fra en lignende beregning hvor partiklene er beskrevet ved Dirac-ligningen. Da vil i tillegg ekstra termer avhengig av deres spinn opptre i den effektive vekselvirkningen.^[2]

Referanser