Funkcjonał Minkowskiego – podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał związany z pochłaniającymi i wypukłymi podzbiorami przestrzeni liniowej.
Definicja
Podzbiór
przestrzeni liniowej
nazywa się pochłaniającym, gdy dla każdego elementu
przestrzeni
istnieje taka liczba dodatnia
że
Zbiory pochłaniające i wypukłe nazywa się zbiorami Minkowskiego. Jeżeli
jest zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał
![{\displaystyle \mu _{A}\colon X\to [0,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90289f48c91b324bac1bea4fe715f3f8e453f21)
określony wzorem
![{\displaystyle \mu _{A}(x)=\inf\{\alpha \in (0,\infty )\colon \;x\in \alpha A\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adfa997fa78cec1e41f901409fc37ab5e1e33085)
nazywa się funkcjonałem Minkowskiego zbioru
Własności
Niech
będzie zbiorem Minkowskiego. Wówczas
dla ![{\displaystyle {}\;x,y\in X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46caef093a3adae8b52de043c50e555e92eaea0)
dla
oraz ![{\displaystyle {}\;\alpha \in [0,\infty ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46a2121e8bac6f5fa6d2a62db9899452a7fbf6b)
dla każdego
oraz ![{\displaystyle \alpha >\mu _{A}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c0d69205750d3a4ea5eac54a4b01d1da6faef39)
Ponadto, zbiory
są zbiorami Minkowskiego i
jest funkcjonałem Minkowskiego każdego z tych zbiorów.
Jeżeli, ponadto,
jest zbiorem zbalansowanym, to
jest półnormą w przestrzeni
Bibliografia
- Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis, Functional Analysis: An Introduction, „American Mathematical Society”, 2004, s. 146–148.