Harmoniki sferyczne

Ten artykuł od 2019-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Harmoniki sferyczne, funkcje sferyczne^[1] – funkcje zespolone dwóch zmiennych rzeczywistych, zaliczane do funkcji specjalnych^[2]. Definiuje się je jako rozwiązania równania różniczkowego Laplace’a zapisanego w układzie współrzędnych sferycznych:

${\displaystyle \left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \right]f(\theta ,\phi )=0,}$

gdzie:

${\displaystyle \theta \in (0,\pi ),}$

${\displaystyle \phi \in (0,2\pi ),}$

${\displaystyle \lambda }$ – parametr równania,

przy czym wartość współrzędnej radialnej ${\displaystyle r}$ współrzędnych sferycznych jest stała, co redukuje operator Laplace’a do powyżej podanej postaci. Pokazuje się, że aby rozwiązania były nieosobliwe, parametr ${\displaystyle \lambda }$ musi przyjmować wartości dyskretne takie że ${\displaystyle \lambda =l(l+1),}$ gdzie ${\displaystyle l=0,1,2,\dots }$

Powyższe równanie można otrzymać np. w metodzie rozdzielania zmiennych podczas rozwiązywania równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym; wtedy ${\displaystyle \lambda }$ jest stałą separacji tej metody.

Przez funkcje sferyczne definiuje się funkcje kuliste^[1], inaczej harmoniki kuliste^{[potrzebny przypis]}, również zaliczane do funkcji specjalnych^[3].

Harmoniki sferyczne

Jeżeli parametr ${\displaystyle \lambda }$ przyjmuje dyskretne wartości, ${\displaystyle \lambda =l(l+1),}$ gdzie ${\displaystyle l=0,1,2,\dots ,}$ to równanie Laplace’a ma rozwiązania nieosobliwe tradycyjnie oznaczane symbolami ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ),}$ przy czym indeks ${\displaystyle m}$ przyjmuje wartości całkowite oraz

(1) dla ${\displaystyle m\geqslant 0{:}}$

${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}\cdot C_{l}^{m}\cdot e^{im\phi }\cdot P_{l}^{m}(\cos \theta ),}$

gdzie:

${\displaystyle l=0,1,2,\dots }$ – liczby naturalne,

${\displaystyle m=0,1,\dots ,l}$ – liczby nie większe niż ${\displaystyle l,}$

${\displaystyle P_{l}^{m}}$ – stowarzyszone funkcje Legendre’a,

${\displaystyle i}$ – jednostka urojona,

${\displaystyle C_{l}^{m}=\left[{\frac {(2l+1)(l-|m|)!}{4\pi (l+|m|)!}}\right]^{1/2}}$ – stała liczba, tzw. współczynnik normalizacyjny;

(2) dla ${\displaystyle m\leqslant 0{:}}$

${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}\cdot Y_{l}^{*(-m)}(\theta ,\phi ),}$

gdzie:

${\displaystyle l=0,1,2,\dots ,}$

${\displaystyle m=0,-1,\dots ,-l}$ – liczby nie mniejsze niż ${\displaystyle -l,}$

${\displaystyle Y_{l}^{*(-m)}(\theta ,\phi )}$ – sprzężenie zespolone funkcji ${\displaystyle Y_{l}^{-m}(\theta ,\phi )}$ zdefiniowanej w punkcie (1).

Funkcje ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$ nazywa się tradycyjnie harmonikami sferycznymi (lub harmonikami kulistymi, funkcjami kulistymi).

Dla danej liczby ${\displaystyle l}$ jest w sumie ${\displaystyle 2l+1}$ liniowo niezależnych rozwiązań postaci ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ),}$ gdzie ${\displaystyle m\in (-l,-l+1,\dots ,l).}$

Własności harmonik sferycznych

Ortonormalność:

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }d\Omega \,\,Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\cdot Y_{l'}^{m'\!*}(\theta ,\phi )=\int \limits _{0}^{2\pi }d\phi \int \limits _{0}^{\pi }d\theta \,\sin \theta \cdot Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\cdot Y_{l'}^{m'\!*}(\theta ,\phi )=\delta _{ll'}\delta ^{mm'},}$

tj. harmoniki różniące się od siebie co najmniej jedną z liczb ${\displaystyle l,l'}$ lub ${\displaystyle m,m'}$ są ortonormalne, jeżeli określa się je dla punktów na powierzchni sfery, tak że ${\displaystyle \theta \in (0,\pi )}$ oraz ${\displaystyle \phi \in (0,2\pi ).}$

Przykłady harmonik sferycznych

Poniższa tabela zawiera w danej kolumnie ${\displaystyle 2l+1=1,3,5,7}$ harmonik ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$ odpowiadających danej wartości ${\displaystyle l}$

Kilka pierwszych harmonik sferycznych

${\displaystyle Y_{l}^{m}}$	l = 0	l = 1	l = 2	l = 3
m = -3				${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{-3i\phi }}$
m = −2			${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{-2i\phi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{-2i\phi }}$
m = −1		${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{-i\phi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{-i\phi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{-i\phi }}$
m = 0	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\pi }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\pi }}}\cos {\theta }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{16\pi }}}\left(3\cos ^{2}{\theta }-1\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {7}{16\pi }}}\left(5\cos ^{3}{\theta }-3\cos {\theta }\right)}$
m = 1		${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{i\phi }}$	${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{i\phi }}$	${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{i\phi }}$
m = 2			${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{2i\phi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{2i\phi }}$
m = 3				${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{3i\phi }}$

Wykresy harmonik

Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych ${\displaystyle \theta \in (0,\pi )}$ oraz ${\displaystyle \phi \in (0,2\pi ).}$ Ich wykresy w układzie sferycznym pokazano na rys. 1.

Ogólne rozwiązanie równania Laplace’a

Ogólne rozwiązanie ${\displaystyle f(\theta ,\phi )}$ równania Laplace’a można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$ o różnych wartościach parametrów ${\displaystyle l,m.}$ Rozwiązanie takie znajduje się żądając np. aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Równanie Laplace’a w mechanice kwantowej

W równaniu Schrödingera

Równanie Laplace’a pojawia się w mechanice kwantowej. Np. przy rozwiązywaniu równania Schrödingera dla atomu wodoru, na który nie działają żadne pola zewnętrzne (np. pole magnetyczne) operator Hamiltona ma postać

${\displaystyle {\hat {H}}({\vec {r}},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V({\vec {r}}),}$

gdzie ${\displaystyle m}$ – masa elektronu, ${\displaystyle \Delta }$ – operator Laplace’a trzech zmiennych, opisujących położenie ${\displaystyle {\vec {r}}}$ elektronu w atomie. Ze względu na symetrię sferyczną energii potencjalnej ${\displaystyle V({\vec {r}})}$ elektronu oddziałującego siłami elektrycznymi z protonem

${\displaystyle V({\vec {r}})\propto {\frac {e^{2}}{r}},}$

gdzie ${\displaystyle e}$ – wartość ładunku elektronu i protonu, wprowadza się współrzędne sferyczne ${\displaystyle r,\phi }$ oraz ${\displaystyle \theta }$ w zapisie operatora Hamiltona. Po rozdzieleniu zmiennej radialnej ${\displaystyle r}$ od zmiennych kątowych ${\displaystyle \phi ,\theta }$ otrzymuje się z równania Schrödingera dwa równania, z których jedno jest równaniem Laplace’a zmiennych ${\displaystyle \phi ,\theta .}$ Rozwiązania tego równania stanowią część funkcji falowej elektronu, zwanej orbitalem; jej kwadrat przedstawia gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w atomie.

W równaniu własnym operatora momentu pędu

Równanie Laplace’a pojawia się także w postaci operatora kwadrat momentu pędu, odpowiadającego operatorowi Hamiltona swobodnego atomu wodoru (omówionego wyżej), tj.

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\Delta }$

lub, zapisując go we współrzędnych sferycznych

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right].}$

Z rozwiązania równania własnego tego operatora

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}\psi (\theta ,\psi )=L^{2}\psi (\theta ,\phi )}$

otrzymuje się jako funkcje własne harmoniki sferyczne

${\displaystyle \psi (\phi ,\theta )\propto {Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}}$

oraz wartości własne

${\displaystyle L^{2}=\hbar ^{2}\,l(l+1),}$

które są dyskretne, gdyż ${\displaystyle l=0,1,2,\dots }$ Oznacza to, że także wartości moment pędu ${\displaystyle L}$ są dyskretne (skwantowane), bo ${\displaystyle L=\hbar {\sqrt {l(l+1)}}.}$

Danej wartości ${\displaystyle L}$ momentu pędu odpowiada ${\displaystyle 2l+1}$ różnych funkcji własnych ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ),}$ ${\displaystyle m=0,-1,\dots ,-l}$ operatora ${\displaystyle {\hat {L}}}$ mających różne wartości liczby ${\displaystyle m.}$ Wartości własne operatora Hamiltona (czyli energie atomu) są także identyczne dla wszystkich tych liczb ${\displaystyle m,}$ a tej samej liczbie ${\displaystyle l.}$ W takiej sytuacji mówi się, że poziomy energetyczne swobodnego atomu są zdegenerowane.

Magnetyczna liczba kwantowa m

Degenerację energii usuwa umieszczenie atomu w zewnętrznym polu magnetycznym – obserwuje się wtedy rozszczepienie linii widmowych atomu (zjawisko Zeemana). W opisie kwantowomechanicznym tego przypadku każdej parze liczb ${\displaystyle l}$ oraz ${\displaystyle m}$ odpowiada inna wartość energii. Dyskretność wartości liczby ${\displaystyle m}$ implikuje dyskretność poziomów energetycznych atomu w polu. Z tego względu liczbę ${\displaystyle m}$ nazywa się magnetyczną liczbą kwantową. Opis kwantowomechaniczny tego przypadku wymaga dodania dodatkowego składnika do operatora Hamiltona, odpowiadającego za oddziaływanie elektronu z polem.

Zobacz też

• Funkcje sferyczne w innym znaczeniu
• harmonika
• stowarzyszone funkcje Legendre’a

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Spherical Harmonic, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].
• Spherical harmonics (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].