Metoda WKB

Metoda WKB (Wentzla-Kramersa-Brillouina) lub przybliżenie WKB – w mechanice kwantowej przybliżona metoda rozwiązywania równania Schrödingera polegająca na założeniu, że funkcja falowa jest lokalnie falą płaską zniekształconą przez obecność potencjału.

Niech stacjonarne równanie Schrödingera w jednym wymiarze będzie dane przez

− ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + V ( x ) ψ = E ψ . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\psi =E\psi .}

Dla V ( x ) = 0 {\displaystyle V(x)=0} rozwiązaniami są fale płaskie dane przez

ψ = e i k x . {\displaystyle \psi =e^{ikx}.}

Dla dowolnego potencjału V ( x ) {\displaystyle V(x)} można założyć podobną postać funkcji falowej, tzn.

ψ = e i S ( x ) / ℏ , {\displaystyle \psi =e^{iS(x)/\hbar },}

czyli tak, jakby pęd k był lokalny i był funkcją położenia k ( x ) = S ( x ) / x . {\displaystyle k(x)=S(x)/x.}

Zakładając ponadto

S ( x ) = S 0 ( x ) + ℏ S 1 ( x ) + . . . {\displaystyle S(x)=S_{0}(x)+\hbar S_{1}(x)+...}

i zbierając wyrazy w najniższym rzędzie ℏ {\displaystyle \hbar } otrzymujemy układ równań

( ∂ S 0 ∂ x ) 2 = 2 m [ E − V ( x ) ] , {\displaystyle \left({\frac {\partial S_{0}}{\partial x}}\right)^{2}=2m[E-V(x)],}
i ∂ 2 S 0 ∂ x 2 − 2 ∂ S 0 ∂ x ∂ S 1 ∂ x = 0. {\displaystyle i{\frac {\partial ^{2}S_{0}}{\partial x^{2}}}-2{\frac {\partial S_{0}}{\partial x}}{\frac {\partial S_{1}}{\partial x}}=0.}

Z rozwiązaniami

ψ ( x ) = C e ± i ∫ x 2 m [ E − V ( x ) ] d x / [ 2 m ( E − V ( x ) ) ] 1 / 4 E > V ( x ) , {\displaystyle \psi (x)=Ce^{\pm i\int ^{x}{\sqrt {2m[E-V(x)]}}dx}/{[{2m(E-V(x))}]}^{1/4}\quad E>V(x),}
ψ ( x ) = C e ± ∫ x 2 m [ V ( x ) − E ] d x / [ 2 m ( V ( x ) − E ) ] 1 / 4 E < V ( x ) . {\displaystyle \psi (x)=Ce^{\pm \int ^{x}{\sqrt {2m[V(x)-E]}}dx}/{[{2m(V(x)-E)}]}^{1/4}\quad E<V(x).}

Do wyznaczenia pozostają teraz energie, które muszą być dyskretne dla stanów związanych. Niech x 1 , {\displaystyle x_{1},} x 2 {\displaystyle x_{2}} będą tzw. punktami powrotu, tzn. punktami których nie mogłaby przekroczyć cząstka klasyczna o znikającej podczas oscylacji energii kinetycznej:

V ( x i ) = E . {\displaystyle V(x_{i})=E.}

Na wzór najprostszej kwantyzacji atomu Bohra energie stanów związanych znajdujemy z warunku wartości całki lokalnego pędu ∂ S 0 ( x ) / ∂ x {\displaystyle \partial S_{0}(x)/\partial x} po wymiarze liniowym x {\displaystyle x} oscylatora harmonicznego, zakładając że wszystkie potencjały są w sensie wartości tej całki harmoniczne, tzn.

∫ x 1 x 2 2 m [ E n − V ( x ) ] d x = ∫ x 1 x 2 2 m [ E h n − m ω 2 x 2 / 2 ] d x {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m[E_{n}-V(x)]}}dx=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m[E_{hn}-m\omega ^{2}x^{2}/2]}}dx}

a

E h n = ℏ ω ( n + 1 2 ) {\displaystyle E_{hn}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)} są dokładnymi energiami oscylatora harmonicznego.

Całka ta dla oscylatora daje się łatwo policzyć ponieważ wyraża pole półkola o promieniu proporcjonalnym do energii E h n {\displaystyle E_{hn}} i otrzymujemy dla dowolnego potencjału:

∫ x 1 x 2 2 m [ E n − V ( x ) ] d x = π ℏ ( n + 1 2 ) n = 0 , 1 , 2... {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m[E_{n}-V(x)]}}dx=\pi \hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\quad n=0,1,2...}

Aby otrzymać energie stanów związanych w metodzie WKB należy:

  1. Wyznaczyć punkty powrotu jako funkcje energii E {\displaystyle E}
  2. Obliczyć całkę pędu lokalnego w funkcji energii.
  3. Rozwiązać otrzymane równanie na energie E {\displaystyle E} z warunku kwantyzacji.

Literatura

  • I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kamiński, Teoria kwantów – mechanika falowa, PWN, 2001.