Parametr skali

Parametr skali – parametr rozkładów prawdopodobieństwa, którego zwiększenie k {\displaystyle k} razy powoduje następujące przekształcenie:

  • punkty na osi odciętych wykresów dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa danego rozkładu zwiększają odległość od punktu ( μ , 0 ) {\displaystyle (\mu ,0)} k {\displaystyle k} razy,
  • dla funkcji rozkładu prawdopodobieństwa oś rzędnych kurczy się k {\displaystyle k} razy względem środka układu współrzędnych. Jest to konieczne, aby całka z funkcji prawdopodobieństwa rozkładu była nadal równa jeden.

Definicja formalna

Jeśli w rodzinie jednowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa dystrybuanta parametryzowana jest przez dodatnią liczbę rzeczywistą s {\displaystyle s} (obok ewentualnych innych parametrów) i zachodzi:

F s , p 1 , … , p n ( x ) = F 1 , p 1 , … , p n ( x − μ s + μ ) , {\displaystyle F_{s,p_{1},\dots ,p_{n}}(x)=F_{1,p_{1},\dots ,p_{n}}\left({\frac {x-\mu }{s}}+\mu \right),}

gdzie:

F s , p 1 , … , p n {\displaystyle F_{s,p_{1},\dots ,p_{n}}} – dystrybuanta parametryzowana przez s , p 1 , … , p n , {\displaystyle s,p_{1},\dots ,p_{n},}
μ {\displaystyle \mu } – parametr położenia, pewna funkcja parametrów p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}} (zazwyczaj równa wartości oczekiwanej),
x {\displaystyle x} – liczba rzeczywista,

to s {\displaystyle s} jest nazywane parametrem skali.

Analogicznie można zdefiniować parametr skali dla rozkładów N {\displaystyle N} -wymiarowych – jest on wówczas N {\displaystyle N} -elementowym wektorem. W szerszym znaczeniu parametrem skali można nazwać także dowolną liczbę, z której da się obliczyć parametr s {\displaystyle s} zdefiniowany tak jak powyżej.

W niektórych przypadkach (np. rozkład normalny, rozkład Cauchy’ego) rozkład z parametrem położenia 0 i parametrem skali 1 nazywany jest „standardowym”.

Przykłady

  • Dla rozkładu normalnego parametrem skali jest odchylenie standardowe, a wartością μ {\displaystyle \mu } wartość oczekiwana. Czasem jednak zamiast odchylenia używa się jego kwadratu (wariancji), również nazywając ją parametrem skali (co jest uzasadnione, gdyż odchylenie standardowe da się z niej obliczyć).
  • Rozkład gamma ma parametr skali θ , {\displaystyle \theta ,} choć czasem używa się jego odwrotności.

Zobacz też