Rozwinięcie Laplace’a – wzór rekurencyjny określający wyznacznik
-tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach
Nazwa wzoru pochodzi od francuskiego matematyka Laplace’a.
Niech
Wówczas:
- dla każdego ustalonego
zachodzi ![{\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259424eece79c19486075abeec8a2ffb1358c7d5)
- dla każdego ustalonego
zachodzi ![{\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d5eade688bc77b75e1d162b2ca429b68454105)
gdzie:
jest elementem macierzy w
-tym wierszu i
-tej kolumnie,
jest dopełnieniem algebraicznym elementu ![{\displaystyle a_{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570c4dd7ceacf06fa5e253c0be71376212227f63)
Powyższe wzory nazywamy rozwinięciami Laplace’a, pierwszy względem
-tej kolumny, a drugi względem
-tego wiersza[1].
Przykład
Przy obliczaniu wyznacznika korzystamy z twierdzenia Laplace’a tak długo, aż uzyskamy macierze, których wyznaczniki można obliczyć wprost (drugiego, trzeciego stopnia). Dobrze jest przy tym skorzystać z faktu, iż dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny lub kombinacji liniowej tychże nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem wyzerować jak najwięcej elementów pewnego wiersza/kolumny.
Obliczmy wyznacznik następującej macierzy czwartego stopnia:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&2&7\\1&2&3&4\\5&6&7&8\\-1&1&-1&1\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e7a78515de07c031fa09fd87994b6ba2fc68cc)
Wygenerujmy jak najwięcej zer w ostatnim wierszu (z wyjątkiem np. ostatniego wyrazu): dodajmy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmijmy ją od drugiej:
![{\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}0+\color {Brown}7&1-\color {Brown}7&2+\color {Brown}\color {Brown}7&\color {Brown}7\\1+\color {Brown}4&2-\color {Brown}4&3+\color {Brown}4&\color {Brown}4\\5+\color {Brown}8&6-\color {Brown}8&7+\color {Brown}8&\color {Brown}8\\-1+\color {Brown}1&1-\color {Brown}1&-1+\color {Brown}1&\color {Brown}1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}7&-6&9&7\\5&-2&7&4\\13&-2&15&8\\0&0&0&{\color {blue}1}\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e9f88468757b84a1acc19d71aac996a47a9780)
Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia. Stosując rozwinięcie Laplace’a względem czwartego wiersza (pamiętać należy o znakach wyliczanych minorów) dostaniemy:
![{\displaystyle \det A=(-1)^{4+1}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}-6&9&7\\-2&7&4\\-2&15&8\end{vmatrix}}+(-1)^{4+2}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}7&9&7\\5&7&4\\13&15&8\end{vmatrix}}+(-1)^{4+3}\cdot 0\cdot {\begin{vmatrix}7&-6&7\\5&-2&4\\13&-2&8\end{vmatrix}}+(-1)^{4+4}\cdot {\color {blue}1}\cdot {\begin{vmatrix}7&-6&9\\5&-2&7\\13&-2&15\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}7&-6&9\\5&-2&7\\13&-2&15\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9406d589cbc0622cbaa0068695a6ac4078b5d97c)
Zredukujmy raz jeszcze współczynniki macierzy kolumnowo – odejmijmy pierwszą od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:
![{\displaystyle \det A={\color {blue}1}\cdot {\begin{vmatrix}7&-6&9\\5&-2&7\\13&-2&15\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}7&-6&2\\5&-2&2\\13&-2&2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}7&{\color {red}-4}&2\\5&0&2\\13&0&2\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4ffd842abd9024590fd514827774e14576d874)
Ponownie korzystamy z rozwinięcia Laplace’a, tym razem względem drugiej kolumny:
![{\displaystyle \det A=(-1)^{1+2}\cdot ({\color {red}-4})\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\13&2\end{vmatrix}}=4\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\13&2\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96d9d01998fe0446b6f0ba18aa0c5f5b2641708)
Z kolei zredukujemy współczynniki w ostatnim wierszu, odejmując pierwszy wiersz od drugiego:
![{\displaystyle \det A=4\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\13&2\end{vmatrix}}=4\cdot {\begin{vmatrix}5&2\\{\color {OliveGreen}8}&0\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f4991ac12917b815173d1248c8ccbd4b6110c1)
i po raz ostatni korzystamy z twierdzenia, tym razem rozwijając względem drugiego wiersza:
![{\displaystyle \det A=4\cdot (-1)^{2+1}\cdot {\color {OliveGreen}8}\cdot {\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}=4\cdot (-1)\cdot 8\cdot 2=-64.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581fb17722108aab09dd19e9c251d75740a3250e)
Zobacz też
Przypisy
- ↑ AgnieszkaA. Kowalik AgnieszkaA., Metoda Laplace’a obliczania wyznaczników [online], Open AGH e-podręczniki, 19 września 2016 [dostęp 2018-07-06] (pol.).
Algebra liniowa
- Wektor
- Przestrzeń liniowa
- Macierz
Wektory i działania na nich | |
---|
Układy wektorów i ich macierze | |
---|
Wyznaczniki i miara układu wektorów | |
---|
Przestrzenie liniowe | |
---|
Odwzorowania liniowe i ich macierze | |
---|
Diagonalizacja | |
---|
Iloczyny skalarne | |
---|
Pojęcia zaawansowane | |
---|
Pozostałe pojęcia | |
---|
Powiązane dyscypliny | |
---|
Znani uczeni | |
---|