Suma zdarzeń

Suma zdarzeń – zdarzenie losowe, które zachodzi wtedy, gdy zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń je tworzących.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Sumą zdarzeń ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}},\ i\in I}$ nazywamy zdarzenie ${\displaystyle \bigcup \limits _{i\in I}A_{i}.}$

W przypadku skończonej liczby zdarzeń ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots A_{n}}$ ich sumę zapisujemy jako ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\dots A_{n}.}$

Przykład

Niech zbiorem zdarzeń elementarnych będzie zbiór wszystkich wyników rzutu kostką. Sumą zdarzeń „wypadła parzysta liczba oczek”, tzn. ${\displaystyle A=\{2,4,6\}}$ oraz „wypadła liczba oczek będąca liczbą pierwszą”, tzn. ${\displaystyle B=\{2,3,5\}}$ jest zdarzenie: ${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6\}.}$

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Jeżeli ${\displaystyle P}$ jest prawdopodobieństwem określonym na pewnej przestrzeni probabilistycznej, ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ zdarzeniami tej przestrzeni, to prawdziwy jest wzór:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Dla trzech zdarzeń ${\displaystyle A,B,C{:}}$

${\displaystyle P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C).}$

Oba wzory są szczególnym przypadkiem tak zwanego wzoru włączeń i wyłączeń, który dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ i zdarzeń ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ jest postaci:

${\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n})}$

${\displaystyle =P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots +P(A_{n})-P(A_{1}\cap A_{2})-\ldots +P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})+\ldots -P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})\dots }$

Kropki oznaczają wszystkie możliwe iloczyny zdarzeń po dwa, trzy i tak dalej (do zrozumienia jak korzystać z tego wzoru, przydatna jest analiza użycia w przypadku trzech zdarzeń).

Zobacz też

• różnica zdarzeń