Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a

Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a – dwa twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa nazywane lokalnym i całkowym (integralnym) wskazujące związek rozkładu dwumianowego (Bernoulliego) z rozkładem normalnym; można traktować go jako szczególny przypadek centralnego twierdzenia granicznego.

Przypadek symetryczny pochodzi z wydrukowanej w 1730 roku pracy Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis („Rozmaite analityka o szeregach i kwadraturach”)^[1] od Abrahama de Moivre’a, a niesymetryczny – z opublikowanego w trzy lata później dodatku Miscelaneis analyticis supplementum z 1733 roku; szerszej publiczności twierdzenia zaprezentowane zostały w drugim wydaniu dzieła The Doctrine of Chances: or, a method for calculating the probabilities of events in play („Doktryna szans: lub, metoda obliczania prawdopodobieństw zdarzeń w grze”) z 1738 roku. Twierdzenie w pełnej ogólności udowodnił Pierre Simon de Laplace w pracy Théorie analytique des probabilités („Analityczna teoria prawdopodobieństw”) z 1812 roku, który nie miał w zwyczaju powoływać się na źródła – z tego powodu do XX wieku prace Moivre’a były szerzej nieznane^[2].

Twierdzenia de Moivre’a-Laplace’a

 Zobacz też: rozkład dwumianowy i rozkład normalny.

Oznaczenia

Niech ${\displaystyle B(n,p)}$ oznacza rozkład dwumianowy dla procesu Bernoulliego, w którym prawdopodobieństwo osiągnięcia dokładnie ${\displaystyle k}$ sukcesów o prawdopodobieństwie ${\displaystyle p}$ w ${\displaystyle n}$ próbach dane jest wzorem

${\displaystyle B_{k}(n,p)=\mathbb {P} (S_{n}=k)={\tbinom {n}{k}}p^{k}q^{n-k},}$

gdzie ${\displaystyle q=1-p}$ jest prawdopodobieństwem porażki, a ${\displaystyle S_{n}}$ oznacza liczbę sukcesów; ponadto niech ${\displaystyle \mu =np}$ oraz ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {npq}}}$ oznaczają odpowiednio wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe tego rozkładu.

Rozpatrywana będzie unormowana wersja powyższego rozkładu, tzn. jego wartość oczekiwana będzie równa zeru, a jego wariancja (odchylenie standardowe) będzie jednostkowa, czyli zamiast liczby sukcesów ${\displaystyle S_{n}}$ rozważana będzie jej unormowana wersja ${\displaystyle S_{n}^{*}={\frac {S_{n}-\mu }{\sigma }}.}$ W związku z tym niżej stosowane będą również następujące oznaczenia: ${\displaystyle h={\frac {1}{\sigma }}}$ to szerokość przedziału klasowego, ${\displaystyle k^{*}={\frac {k-\mu }{\sigma }}}$ to unormowane odchylenie liczby sukcesów od średniej; wygodnie będzie zakładać, że ${\displaystyle k}$ nie musi być naturalne – w szczególności ${\displaystyle k_{\pm }=k\pm {\frac {1}{2}},}$ skąd ${\displaystyle k_{\pm }^{*}=k\pm {\frac {1}{2}}h.}$

Funkcja ${\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)}$ będzie oznaczać gęstość unormowanego rozkładu normalnego ${\displaystyle N(0,1)}$ o dystrybuancie ${\displaystyle \Phi ,}$ podczas gdy ${\displaystyle \varphi _{*}(t)=h\varphi (t^{*})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$ będzie oznaczać gęstość rozkładu normalnego ${\displaystyle N(\mu ,\sigma )}$ o dystrybuancie ${\displaystyle \Phi _{*}(x)=\Phi (x^{*}).}$

Twierdzenie lokalne

Jeżeli ${\displaystyle h|k^{*}|\max(p,q)\leqslant {\frac {1}{2}},}$ to

${\displaystyle B_{k}(n,p)=h\varphi (k^{*})\cdot e^{R(n,k)},}$

gdzie

${\displaystyle {\big |}R(n,k){\big |}\leqslant {\tfrac {3}{4}}|k^{*}|h+{\tfrac {1}{3}}|k^{*}|^{3}h+{\tfrac {1}{3n}}.}$

W szczególności ${\displaystyle R(n,k)\to 0}$ dla ${\displaystyle n,k\to \infty ,}$ czyli

${\displaystyle \mathbb {P} (S_{n}=k)\sim \varphi _{*}(k).}$

Twierdzenie całkowe

Jeżeli ${\displaystyle h\max {\big (}|a^{*}|,|b^{*}|{\big )}\max(p,q)\leqslant {\frac {1}{2}},}$ to

${\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant S_{n}\leqslant b)={\Big (}\Phi \!\left(b_{+}^{*}\right)-\Phi \!\left(a_{-}^{*}\right)\!\!{\Big )}\cdot e^{D(n,a,b)},}$

gdzie

${\displaystyle {\big |}D(n,a,b){\big |}\leqslant \max _{k\in \{a,b\}}{\Big (}{\tfrac {5}{4}}|k^{*}|h+{\tfrac {1}{3}}|k^{*}|^{3}h{\Big )}+{\tfrac {1}{3n}}+{\tfrac {1}{8}}h^{2}.}$

W szczególności ${\displaystyle D(n,a,b)\to 0}$ dla ${\displaystyle n\to \infty }$ oraz ${\displaystyle a,b}$ zmieniających się tak, by ${\displaystyle h(a^{*})^{3},\ h(b^{*})^{3}\to 0,}$ jest wtedy

${\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant S_{n}\leqslant b)\sim \Phi _{*}(b_{+})-\Phi _{*}(a_{-});}$

W zastosowaniach najczęściej spotyka się następujący wniosek z twierdzenia całkowego:

Wniosek

Jeżeli ${\displaystyle a^{*},b^{*}}$ są stałe, to

${\displaystyle \mathbb {P} (a^{*}\leqslant S_{n}^{*}\leqslant b^{*})\sim \Phi \!\left(b_{+}^{*}\right)-\Phi \!\left(a_{-}^{*}\right).}$

Przykłady

Liczebność próby

Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a można wykorzystać do określenia minimalnej liczebności próby losowej z danej populacji w danym badaniu mającym na celu jak najbardziej miarodajne oszacowanie danej obserwacji, która zachodzi z pewnym prawdopodobieństwem, bądź nie (tj. zachodzącej zgodnie z rozkładem zero-jedynkowym). Przykładowo: w badaniu przesiewowym choroby, która jest na tyle rzadka, że nie choruje na nią więcej niż ${\displaystyle 0{,}5\%}$ populacji, przy czym błąd ma być mniejszy niż ${\displaystyle 0{,}001}$ z prawdopodobieństwem ${\displaystyle 0{,}95,}$ w celu wskazania chorych z ustaloną pewnością należałoby wybrać próbę co najmniej ${\displaystyle 19\,112}$-osobową^[3].

Reguła 3σ

Opierając się na twierdzeniu całkowym można się spodziewać, że reguła trzech sigm sformułowana dla rozkładu normalnego zachodzi również dla procesu Bernoulliego. Jedną z jej wersji jest

${\displaystyle \mathbb {P} {\big (}S_{n}\in (\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma ){\big )}\geqslant 0{,}997,}$

o ile ${\displaystyle \mu -3\sigma >0}$ oraz ${\displaystyle \mu +3\sigma <n,}$ co można krótko zapisać ${\displaystyle n>9\max \left({\frac {p}{q}},{\frac {q}{p}}\right)}$^[4].

Przypisy