Value at risk

Value at risk (lub wartość zagrożona ryzykiem) – miara ryzyka wyrażająca graniczny poziom straty znaleziony dla ustalonego α , {\displaystyle \alpha ,} będącego prawdopodobieństwem jej osiągnięcia. Równoważną interpretacją tego pojęcia jest kwota gotówki jaką należy dodać do pozycji, aby prawdopodobieństwo jakiejkolwiek straty (wartości ujemnej) było mniejsze lub równe poziomowi α . {\displaystyle \alpha .}

Definicja

Niech X {\displaystyle X} oznacza wartość pewnego portfela aktywów, natomiast α {\displaystyle \alpha } pewien graniczny poziom prawdopodobieństwa. Wartość zagrożona ryzykiem zdefiniowana jest jako:

V a R α ( X ) = − sup { x ∈ R : P ( X ⩽ x ) ⩽ α } = inf { x ∈ R : P ( X + x < 0 ) ⩽ α } = − q α + ( X ) , {\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)=-\sup \left\{x\in \mathbb {R} \colon {\text{P}}(X\leqslant x)\leqslant \alpha \right\}=\inf \left\{x\in \mathbb {R} \colon {\text{P}}(X+x<0)\leqslant \alpha \right\}=-q_{\alpha }^{+}(X),}

gdzie q α + ( X ) {\displaystyle q_{\alpha }^{+}(X)} jest górnym kwantylem rzędu α {\displaystyle \alpha } zmiennej X . {\displaystyle X.}

Własności

  • jeśli X ⩾ 0 , {\displaystyle X\geqslant 0,} to V a R α ( X ) ⩽ 0 , {\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)\leqslant 0,}
  • niezmienniczość ze względu na przesunięcia – dla dowolnego c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } zachodzi:
V a R α ( X + c ) = V a R α ( X ) − c , {\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X+c)=\mathrm {VaR} _{\alpha }(X)-c,} gdzie
  • dodatnia jednorodność: V a R α ( λ X ) = λ V a R α ( X ) {\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(\lambda X)=\lambda \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)} dla λ ⩾ 0 , {\displaystyle \lambda \geqslant 0,}
  • monotoniczność: X ⩾ Y , {\displaystyle X\geqslant Y,} to V a R α ( X ) ⩽ V a R α ( Y ) . {\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)\leqslant \mathrm {VaR} _{\alpha }(Y).}

Dla rozkładów eliptycznych (w tym rozkładu rozkładu normalnego) zachodzi ponadto własność podaddytywności:

  • V a R α ( X + Y ) ⩽ V a R α ( X ) + V a R α ( Y ) . {\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X+Y)\leqslant \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)+\mathrm {VaR} _{\alpha }(Y).}

Sposoby wyznaczania

  • analiza wartości historycznych – metoda ta polega na konstruowaniu rozkładu empirycznego w oparciu o dane historyczne
  • metody Monte Carlo – polegają na przeprowadzeniu doświadczenia losowego przy przyjętych założeniach o rozkładzie wartości portfela i na tej podstawie wyznaczeniu wartości zagrożonej
  • metody analityczne – polegają na przyjęciu założeń dotyczących modelowania wartości portfela, a następnie bezpośrednim wyznaczeniu ich wartości

Krytyka

Krytyka wartości zagrożonej jest w dużej mierze spowodowana stosowaniem rozkładu Gaussowskiego dla analizowanych zdarzeń. Przybliżenie uzyskiwane poprzez przyjęcie założenia o normalności rozkładu niesie za sobą poważne konsekwencje w postaci niedostatecznie grubych ogonów co w sposób istotny wpływa na współczynnik V a R α ( X ) . {\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X).}

Kolejną wadą towarzyszącą stosowaniu wartości zagrożonej do konstruowania wymogów związanych z ryzykiem finansowym jest brak informacji o kształcie rozkładu strat dla wartości bezwzględnie większych od poziomu V a R α ( X ) . {\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X).}

Powstała wersja zmodyfikowanego wskaźnika (ang. modified var), w której wykorzystano uogólnienie Cornish–Fishera, pozwalające na analizę rozkładów niegaussowskich[1].

Przypisy

  1. ↑ LaurentL. Favre LaurentL., José-AntonioJ.A. Galeano José-AntonioJ.A., Mean-Modified Value-at-Risk Optimization with Hedge Funds, „The Journal of Alternative Investments”, 5 (2), 2002, s. 21–25, DOI: 10.3905/jai.2002.319052, ISSN 1520-3255 [dostęp 2020-10-21]  (ang.).

Bibliografia

  • Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2.