Warunkowa wartość oczekiwana – podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa. Jest to odmiana tradycyjnego pojęcia wartości oczekiwanej, znanej czy to z rachunku prawdopodobieństwa, czy to ze statystyki. Różnica jest taka, że obliczamy ją pod warunkiem, że pewne zdarzenie już zaszło, a więc zamiast standardowego prawdopodobieństwa używamy prawdopodobieństwa warunkowego.
Założenia
Niech
będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym
Niech również
będzie zmienną losową,
gdzie
jest mierzalna
jest zdarzeniem takim, że
Definicje
- Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:
![{\displaystyle \mathbb {E} (X|A)=\int \limits _{\Omega }X(\omega )d\mathbb {P} _{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f47d1be4767c2eeaeabc997f2faa83388d4173e)
Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:
![{\displaystyle \mathbb {E} (X|A)={\frac {1}{P(A)}}\int \limits _{A}X(\omega )d\mathbb {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c938cd97c5394a8f8479f854ee3a11ed829b30ce)
- Niech
będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała
nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:
1)
jest
-mierzalna,
2)
dla dowolnego
Dla dowolnego σ-ciała
i zmiennej losowej całkowalnej
istnieje
i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.
- Szczególny przypadek poprzedniego.
Niech
gdzie
i niech
Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała
jest równa:
Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.
Własności
Niech
i niech
będzie σ-ciałem. Wówczas:
- Jeśli
jest
-mierzalna, to ![{\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b24cb7028d415e26725a24a73ee20be8cc3e00)
![{\displaystyle X\leqslant Y\ \Rightarrow \ \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\leqslant \mathbb {E} (Y|{\mathcal {G}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acdaae43fcc7c4e98c88b84a7810e9f13ad446b)
![{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \ \Rightarrow \ \mathbb {E} (aX+bY|{\mathcal {G}})=a\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})+b\mathbb {E} (Y|{\mathcal {G}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa7798490096f941148821926fd8a05b4916641)
![{\displaystyle |\ \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\ |\leqslant \mathbb {E} (\ |X|\ |{\mathcal {G}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098c23a5ecf12aaa2699819a7a205f75f497436b)
- Dla dowolnego
mamy:
![{\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {H}})=\mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {H}})\ {\bigg |}\ {\mathcal {G}}{\bigg )}=\mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\ {\bigg |}\ {\mathcal {H}}{\bigg )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40450d1907491693c9f1ce2336afda2208346d2)
![{\displaystyle X_{n}\to X\ \ \Longrightarrow \ \ \mathbb {E} (X_{n}|{\mathcal {G}})\to \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdcd7bd7944d9db2d586d2b4cd72b89dd4e4f22a)
![{\displaystyle \mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}){\bigg )}=\mathbb {E} X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d5c3fc99ea9c5f0131dec1cb8c21fe84438d7a)
- Jeśli
jest niezależna od
(tzn. σ
i
są niezależne), to:
![{\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=\mathbb {E} X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29e64c366b55305d233e75e9e5206f9e686607d)
- Jeśli
jest ograniczoną zmienną
-mierzalną, to:
![{\displaystyle \mathbb {E} (YX|{\mathcal {G}})=Y\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331e87b69ee83e9c618237b3b2b674590da5711e)
Zobacz też
Literatura
- J. Jakubowski, R. Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. III. ISBN 83-89716-01-1. Brak numerów stron w książce
- Britannica: topic/conditional-expectation