Força central

Em mecânica clássica, uma força central é uma força cuja magnitude depende somente da distância r entre os objetos e que é dirigida ao longo da linha que os une^[1], ou seja:

${\displaystyle {\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(||\mathbf {r} ||){\hat {\mathbf {r} }}}$

em que ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {\text{ F }}}}$ é a força, F é o vetor função de força, F é um escalar cujo valor é a função de força, r é o vetor posição, ||r|| é o seu comprimento, e ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ = r/||r|| é o vetor unitário correspondente.

Equivalentemente, um campo de força é central se, e somente se, ele possui simetria esférica.

Propriedades

Um campo de forças centrais é um campo conservativo, isto é, pode sempre ser expresso em termos do gradiente de um potencial:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} ){\text{, onde }}V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r}$

(O limite superior de integração é arbitrário, pois o potencial é definido a menos de uma constante aditiva).

Em um campo conservativo, a energia mecânica total (cinética e potencial) é conservada:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{constante}}}$

Na equação acima, ṙ denota a derivada de r em relação ao tempo, que é a velocidade. Num campo de força central, o momento angular também se conserva:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{constante}}}$

pois o torque exercido pela força central é nulo. Como consequência, o corpo se move no plano perpendicular ao vetor momento angular, contendo a origem, e obedece a segunda lei de Kepler. Se o momento angular é zero, o corpo se move ao longo da linha que o une à origem.

Uma conseqüência de ser conservativo é que um campo de força central é irrotacional, isto é, seu rotacional é zero, exceto na origem:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} {\text{.}}}$

Exemplos

A força gravitacional e a força de Coulomb são dois exemplos familiares para os quais F(r) é proporcional à 1/r². Um objeto em tal campo de força com F negativo (correspondente a uma força atrativa) obedece às leis de Kepler do movimento planetário.

O campo de força de um oscilador harmônico no espaço é central, com F(r) proporcional a r e negativo.

Pelo teorema de Bertrand, as leis de forças F(r) = −k/r² e F(r) = −kr são os únicos campos centrais possíveis onde as órbitas são estáveis e fechadas.

Ver também

• Problema clássico de forças centrais

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Central force», especificamente desta versão.