Função total de fatores primos incluso repetidos

A função total de fatores primos incluso repetidos, também chamada de Ω(n) ("omega") representa o número de fatores primos distintos de n. Como 1 não possui fatores primos, o valor de Ω(1) é zero.

Há uma ligação entre a função ω(n) e a função Ω(n). Se

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{\omega (n)}p_{i}^{\alpha _{i}}}$,

então

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{i=1}^{\omega (n)}\alpha _{i}}$.

A função Ω(n) é uma função aritmética do tipo aditiva.

Exemplos

Para n=1, Ω(1)=0, já que 1 não possui fatores primos.

Para um primo p qualquer, n = p, ω(p)=1, pois o expoente de p é 1. Para qualquer potência de um primo, ${\displaystyle p^{t},\omega (p^{t})=t.}$

Outros exemplos:

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2⁴ · 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2⁴ · 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54.032.858.972.279) = 3

Ω(54.032.858.972.302) = 6

Ω(20.802.650.704.327.415) = 7

A sequência OEIS para Ω(n), com n = 1, 2, 3, ... é 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, ... é A001222.

Veja também

• Função aritmética
• Função multiplicativa
• Teoria aditiva dos números
• Função total de fatores primos não-repetidos

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