Klein 4

Em matemática, o Grupo de Klein (conhecido como Klein 4) é o grupo isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$^[1]. Com quatro elementos, é o menor grupo não-cíclico. Recebeu o nome Vierergruppe por Felix Klein em 1884. Além de sua aparição na teoria de grupos, temos que o grupo de Klein também surge em outras áreas, como na geometria algébrica.^[2]

O grupo de Klein é usualmente representado por ${\displaystyle V=\{a,b,c,e\}}$ e cada elemento, operado consigo mesmo, corresponde ao elemento neutro ${\displaystyle e}$, enquanto a operação entre dois elementos não-neutros distintos resulta no outro elemento não-neutro (por exemplo, ${\displaystyle a*b=c}$), ou seja, ${\displaystyle V=\{a,b|a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\}}$.

Também pode ser visto como o grupo gerado pela diferença simétrica entre as partes de um conjunto de dois elementos. Neste caso, o conjunto vazio é o elemento neutro.

Os elementos do grupo de Klein podem ser permutados. Assim, o grupo de automorfismos do grupo de Klein é isomorfo a ${\displaystyle S_{3}}$, o grupo de permutações entre três elementos.

Geometricamente, em duas dimensões o grupo de Klein corresponde ao grupo de simetria de um losango ou um retângulo propriamente dito, e seus elementos são a identidade, a reflexão vertical, a reflexão horizontal e a rotação de 180°.

Em três dimensões, existem três grupos de simetria diferentes que correspondem ao grupo de Klein.

Grupo abelianos de ordem ${\displaystyle p^{2}\,}$, com ${\displaystyle p\,}$ primo, são necessariamente abelianos. Além disso, ou são cíclicos ou são produto de dois cíclicos. Assim, para cada ${\displaystyle p\,}$ primo, há (além de isomorfismos) apenas dois grupos de ordem ${\displaystyle p^{2}\,}$: um cíclico e o outro é o produto de dois grupos cíclicos de ordem ${\displaystyle p\,}$. No caso de ${\displaystyle p=2\,}$, só existem dois grupos de ordem ${\displaystyle p^{2}=4\,}$ : o grupo de Klein, que é isomorfo ao produto de cíclicos, e o grupo cíclico de ordem ${\displaystyle 4\,}$- isomorfos ao grupo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$.

Seja ${\displaystyle G=\{-1,1\}}$ um grupo multiplicativo. Note que ${\displaystyle (G\times G,\cdot )}$ é um grupo abeliano isomorfo ao grupo de Klein, com a multiplicação coordenada a coordenada. Além disso, tomando ${\displaystyle G^{n}=G\times \cdots \times G}$, temos que vários subgrupos de ${\displaystyle G^{n}}$ são isomorfos ao grupo de Klein.^[3]

Referências

Ver Também

• Grupos cíclicos
• Teoremas de Sylow
• Teorema de Lagrange (teoria dos grupos)

• Portal da matemática