Parábola semicúbica

Parábolas semicúbicas para diferentes valores de a.

Em matemática, uma parábola semicúbica AO 1990 é uma curva definida parametricamente como:[1]

x = t 2 {\displaystyle x=t^{2}\,}

y = t 3 . {\displaystyle y=t^{3}.\,}

O parâmetro pode ser eliminado para fornecer a equação

y = ± a x 3 2 . {\displaystyle y=\pm ax^{3 \over 2}.} [2]

Propriedades

Um caso especial de parábola semicúbica é a evoluta da parábola

x = 3 4 ( 2 y ) 2 3 + 1 2 . {\displaystyle x={3 \over 4}(2y)^{2 \over 3}+{1 \over 2}.}

A expansão da catacáustica cúbica de Tschirnhausen mostra que ela própria também é uma parábola semicúbica:

x = 3 ( t 2 − 3 ) = 3 t 2 − 9 {\displaystyle x=3(t^{2}-3)=3t^{2}-9\,}

y = t ( t 2 − 3 ) = t 3 − 3 t . {\displaystyle y=t(t^{2}-3)=t^{3}-3t.\,}

História

A parábola semicúbica foi descoberta em 1657 por William Neile, que determinou seu comprimento de arco.[2] Foi a primeira curva algébrica (excluindo a reta) a ser retificada. Ela é a única trajetória possível para uma partícula que, ao movimentar-se sob a ação da gravidade, percorre intervalos verticais iguais em tempos iguais.

Referências

  1. ↑ Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2014). Cálculo. II 10ª ed. Porto Alegre: Bookman Editora. p. 697 
  2. ↑ a b Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (em inglês). Nova Iorque: Sterling Publishing Company, Inc. p. 148