Parte imaginária

Em Matemática, a parte imaginária é o segundo elemento do par ordenado de números reais que representam um número complexo. Um número complexo pode ser escrito na forma: ${\displaystyle a+bi}$ , onde "${\displaystyle a}$" é o coeficiente da parte real, "${\displaystyle b}$" é o coeficiente da parte imaginária e "${\displaystyle i}$" é a unidade imaginária, cuja principal propriedade é ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ . Um número cuja parte imaginária ("${\displaystyle b}$") seja ${\displaystyle 0\,\!}$ é chamado de número real e um número cuja parte real ("${\displaystyle a}$") seja ${\displaystyle 0\,\!}$ é chamado de número imaginário puro ou ainda puramente imaginário.

Notação/Representação

A notação para a parte imaginária de um número complexo não é universal. Porém, é comum o uso de ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)\,\!}$ ou ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)\,\!}$ , sendo ${\displaystyle z}$ um número genérico, para representá-la.

Podemos representar a parte imaginária de um complexo ${\displaystyle z\,\!}$ de diversas maneiras:

• Forma Retangular:
  • Dado ${\displaystyle z=a+bi\,\!}$ , temos a parte imaginária ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)=bi}$;
• Forma Trigonométrica:
  • Dado ${\displaystyle z=|z|(cos\theta +isen\theta )}$ , temos a parte imaginária ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)=|z|(isen\theta )}$;
• Forma Polar:
  • Dado ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$ , temos a parte imaginária ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)=ri\sin \theta }$;
• Forma Exponencial:
  • Dado ${\displaystyle z=re^{i\theta }\,\!}$, a parte imaginária não pode ser obtida diretamente. Por conta disso, utiliza-se a propriedade ${\displaystyle e^{i\theta }\,\!=(cos\theta +isen\theta )}$ , trazendo-nos de volta a um caso anterior, a Forma Trigonométrica.
• Recorrendo ao conjugado de um número complexo, podemos calcular ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$.
• Através da notação de um plano complexo, método de representação gráfico, é possível identificar suas componentes real e imaginária e até calcular seu módulo (${\displaystyle z}$).
  • ${\displaystyle z}$ pode ser calculado pela aplicação do Teorema de Pitágoras no plano complexo, isto é, ${\displaystyle ||z||={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

Aplicações

Há uma vasta área de aplicação para este tipo de números. Dentre eles se destacam:

• Matemática:
  • É utilizado na análise complexa, álgebra linear complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais com raízes complexas, geometria fractal e até outros;
  • Um caso bem específico dentro da matemática é a Transformada de Fourier, onde é utilizada a sua definição em Forma Exponencial; ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$
• Física:
  • Utilizada na Física Quântica, também chamada de Mecânica Quântica;
  • Teoria do Caos, dentro da Mecânica Clássica;
  • Eletromagnetismo;
  • Teoria do Buraco Negro, tempo imaginário;
• Engenharia:
  • Elétrica:
    • Utiliza-se em resolução de circuitos, tais como RLC, em cálculos de impedância, fase; em circuitos resistivos com corrente alternada;
  • Controle e Automação:
    • Utiliza-se em cálculos de vazão de válvulas controladas eletricamente;

Ver também

• Números Complexos
• Números Reais

Referências

http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/NC2.pdf

• Portal da matemática