Teorema da transformada inversa de Fourier

Na matemática, o teorema inverso de Fourier diz que, para muitos tipos de funções, é possível recuperar uma função a partir de sua transformada de Fourier. Intuitivamente, pode ser visto como a prova de que se sabemos frequência e fase de uma onda, podemos reconstruir sua onda original com precisão.

O teorema diz que se temos uma função satisfazendo certas condições, e usarmos a convenção para a transformada de Fourier de que

Em outras palavras, o teorema diz que

Esta última equação é chamado o teorema integral de Fourier.

Outra forma de enunciar o teorema é notar que, se R é o operador de giro i.e. Rf(x):=f(−x), então

O teorema é válido quando ambos f e a sua transformada de Fourier, são absolutamente integráveis (no sentido de Lebesgue) e f é contínua no ponto x. No entanto, mesmo sob condições mais genéricas do teorema da inversa de Fourier ele ainda funciona. Nestes casos, as integrais acima talvez não façam sentido, ou o teorema pode manter por quase todos os x , ao invés do que para todos os x.

Prova

Nesta seção, vamos definir que f é integrável e contínua. Use a convenção para a transformada de Fourier, que

Além disso, assumimos que a transformada de Fourier também é integrável.

Inversa de Fourier como uma integral

A prova mais comum para o teorema da transformada inversa de Fourier é provar a transformada inversa como uma integral. Para qualquer função integrável g e todo x∈ℝⁿ definir

Em seguida, para todo x∈ℝⁿ temos

Teorema integral de Fourier

O teorema pode ser reescrito como

Se f for avaliada real, em seguida, tomando a parte real de cada lado acima obtemos

Transformada inversa em termos do operador de giro

Para qualquer função g definir o operador de giro^{[note 1]} R por

Então podemos definir

É imediata a partir da definição da transformada de Fourier, e pelo operador de giro que tanto e coincidem com a definição de integral e , em particular, são iguais entre si e satisfazem .

Note-se também que, desde que nós temos e

Inversão de dois lados

A forma do teorema de Fourier mencionada acima, é também comum como

Em outras palavras, é uma inversão esquerda para a transformação de Fourier. No entanto, ele é também uma inversão direita para a transformada de Fourier, por exemplo:

Desde que seja tão semelhante a , isso segue facilmente o teorema da inversa de Fourier (mudança de variáveis ζ:=−ξ):

Alternativamente, isto pode ser visto a partir da relação entre o operador de giro e a associatividade ' a da composição de funções , desde que

Condições da função

Quando pensamos em física e engenharia, o teorema inverso de Fourier, é muitas vezes usado sob a suposição de que tudo "funciona bem". Em matemática, argumentos tão heurísticos não são aceitos, e o teorema inverso de Fourier inclui uma especificação explícita de que classe de funções está sendo permitido. No entanto, não exista a "melhor" classe de funções para considerar tão diversas variantes do teorema inverso de Fourier com conclusões plausíveis.

Funções Schwartz

O teorema inverso de Fourier vale para todas as funções Schwartz (grosseiramente falando, funções suaves que decaem rapidamente e cujas derivadas também tem decadência rápida). Esta condição tem a vantagem de que é uma prova direta e simples sobre a função (em oposição à imposição de uma condição a sua transformada de Fourier), e a integral que define a transformada de Fourier e sua inversa são absolutamente integráveis. Esta versão do teorema é usado em prova do teorema da inversa de Fourier para uma distribuição temperada (ver abaixo).

Funções integráveis com transformada de Fourier integrável

O teorema da inversa de Fourier vale para todas as funções contínuas que são absolutamente integráveis (p.ex. L¹(ℝⁿ)) com absolutamente integráveis transformadas de Fourier. Isso inclui todas as funções Schwartz, sendo deste modo uma forma mais forte do teorema do que o anterior mencionada. Essas condições têm a vantagem de que as integrais que definem a transformada de Fourier e sua inversa são absolutamente integráveis. Esta condição é a usada acima, na seção de prova.

Uma pequena variante é ignorar a condição de que a função f seja contínua, mas ainda verificar se suas e sua transformada de Fourier são absolutamente integráveis. Então f=g em quase toda parte onde g é uma função contínua, e para cada x∈ℝⁿ.

Funções integráveis em uma dimensão

Definida por parte, suave; uma dimensão

Se a função for absolutamente integrável em uma dimensão (por exemplo, f∈L¹(ℝ)) e for definida por partes, suave, então uma versão do teorema da trasnformada inversa funciona. Neste caso, definimos

então para todo x∈ℝ

ex. é igual a média dos limites direito e esquerdo de f em x. Note, que nos pontos em que f é contínua, isto simplesmente é igual a f(x).

Uma analogia dimensionalmente superior desta forma do teorema ainda persiste, mas de acordo com Folland (1992), é "bastante delicado e não muito útil".

Definida por partes, contínua; uma dimensão

Se a função for absolutamente integrável em uma dimensão (por exemplo, f∈L¹(ℝ)), mas apenas por partes, contínua, então o teorema inverso de Fourier ainda é utilizavel. Neste caso, a integral da trasnformada inversa de Fourier é definida com o auxílio de uma função suave em vez de uma função cortante afiada; especificamente, definimos

A conclusão do teorema, em seguida, é a mesma que para o definido por partes, continuo, caso discutido acima.

Contínua; qualquer número de dimensões

Se f é contínua e absolutamente integrável em ℝⁿ , então o teorema inverso de Fourier ainda persiste enquanto definirmos a transformada inversa como uma função suave com um corte p.ex.

A conclusão é agora simplificada para todo x∈ℝⁿ

Nenhuma condição de regularidade; qualquer número de dimensões

Se eliminarmos todas as suposições sobre a continuidade de f (definida por partes), e assumirmos, apenas, que é absolutamente integrável, então o teorema ainda funciona. A transformada inversa é novamente definida^{[necessário esclarecer]} uma função suave com corte, mas com a conclusão de que

para quase todo x∈ℝ.

Funções quadráticas integráveis

Neste caso a transformada de Fourier não pode ser definida diretamente como uma integral pois não pode ser absolutamente convergente, então em vez disso, é definida por densidade de argumento (consulte o artigo da trasnformada de Fourier ). Colocando, por exemplo,

podemos definir onde o limite é tomado na norma de L² . A transformada inversa pode ser definida pela densidade da mesma forma ou pela transformada de Fourier, e pelo operador de giro. Temos, então:

para quase todo x∈ℝ.

Distribuições temperadas

A transformada de Fourier pode ser definida dentro do espaço de distribuições temperadas pela dualidade da transformada de Fourier no espaço das funções de Schwartz. Especificamente para e para todas as funções de teste definimos

onde é definida utilizando a fórmula integral. Se f é uma função de L¹+L² , então concorda com a definição normal. Podemos definir a transformada inversa, pela dualidade a partir da transformada inversa, nas funções de Schwartz funciona da mesma maneira, ou definindo-o em termos do operador de giro (onde o operador de giro é definido pela dualidade). Temos, então:

Relação à série de Fourier

Quando se considera a série de Fourier de uma função, é convencionado redimensionar-la de modo que pertença ao intervalo [0,2π] (ou é 2π periódica). Nesta seção, todavia, utilizamos uma convenção incomum fazendo f pertencer a [0,1], ainda que coincidisse com a convenção da transformada de Fourier utilizada aqui.

O teorema inverso de Fourier é análogo para a convergência da série de Fourier. No caso da transformada de Fourier , temos:

No caso da série de Fourier temos:

Em particular, em uma dimensão k é simplesmente um número inteiro e a soma é executado de −∞ a ∞.

Aplicações

Em aplicações da transformada de Fourier, o teorema da inversa de Fourier, muitas vezes, desempenha um papel fundamental. Em muitas situações, a estratégia básica é aplicar a transformada de Fourier, executando alguma operação ou simplificação e, em seguida, aplicando a inversa da transformada de Fourier.

De forma mais abstrata, o teorema da inversa de Fourier é uma afirmação sobre a transformada de Fourier como um operador (consulte a transformada de Fourier em função de espaços). Por exemplo, o teorema da inversa de Fourier na f∈L²(ℝⁿ) mostra que a transformada de Fourier é um operador unitário em f∈L²(ℝⁿ).

Propriedades da transformada inversa

A inversa de Fourier é extremamente semelhante a transformada original de Fourier: como discutido acima, difere apenas na aplicação de um operador de giro. Por este motivo as propriedades da transformada de Fourier persistem para a inversa de Fourier, tais como o teorema de Convolução e o tensor de Riemann–Lebesgue lema.

Tabelas de transformadas de Fourier podem ser facilmente utilizadas para a transformada inversa de Fourier, por comporem a função com o operador de giro. Por exemplo, olhando a transformada de Fourier da função rect vemos que:

O correspondente para a transformada inversa é:

Prova

A prova utiliza alguns fatos.

Se η∈ℝⁿ e g(x) = e^2πix⋅ηf(x), então.
Se a∈ℝ e g(x) = f(ax), então .
Para f e g em L¹(ℝⁿ), o teorema de Fubini implica que .
Definir φ(x):=e^−π|x|²; em seguida,
Definir φ_ε(x):=φ(x/ε)/εⁿ. Em seguida, com ∗ denota convolução, φ_ε é uma aproximação à identidade: para qualquer contínua f∈L¹(ℝⁿ) e o ponto x∈ℝⁿ, lim_ε→0φ_ε∗f(x)=f(x) (onde a convergência é ponto fixo).