Teorema de Perron-Frobenius

Em álgebra linear, o teorema de Perron-Frobenius, provado por Oskar Perron (1907) e Ferdinand Georg Frobenius (1912), afirma que uma matriz real quadrada com entradas positivas tem um único maior autovalor e que o correspondente autovetor tem componentes estritamente positivos, e também afirma uma declaração semelhante para certas classes de matrizes não negativas. Este teorema tem aplicações importantes para a teoria de probabilidade (ergodicidade de cadeias de Markov ), para a teoria de sistemas dinâmicos; à Economia (modelo de Leontief);^[1] à demografia (modelo de distribuição etária de população Leslie)^[2] à base matemática de motores de busca na internet^[3]e até mesmo a classificação dos times de futebol.^[4]

Caso com matrizes positivas

A teoria de matrizes não-negativas assume sua forma mais simples e elegante para matrizes positivas e é para esse caso que Oskar Perron fez descobertas fundamentais em 1907 (apud ^[5]). Agora, resumiremos seus principais resultados em um teorema que leva seu nome.

Teorema de Perron

Se ${\displaystyle A}$ é uma matriz quadrada e ${\displaystyle A>0}$, então

• (a) ${\displaystyle \rho (A)>0}$
• (b) ${\displaystyle \rho (A)}$ é um autovalor de ${\displaystyle A}$
• (c) Existe um vetor ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle x>0}$ e ${\displaystyle Ax=\rho (A)x}$
• (d) ${\displaystyle \rho (A)}$ é um autovalor algebricamente (e, dessa forma, geometricamente) simples
• (e) ${\displaystyle |\lambda |<\rho (A)}$ para todo autovalor de ${\displaystyle A}$ tal que ${\displaystyle \lambda \neq \rho (A)}$, ou seja, ${\displaystyle \rho (A)}$ é o único autovalor de maior módulo
• (f) ${\displaystyle [\rho (A)^{-1}A]^{m}\rightarrow H}$ quando ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$, onde ${\displaystyle H=xy^{T}}$, ${\displaystyle Ax=\rho (A)x}$, ${\displaystyle A^{T}y=\rho (A)y}$, ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle y>0}$ e ${\displaystyle x^{T}y=1}$.

O único autovetor normalizado caracterizado no item (c) do Teorema de Perron é frequentemente chamado de vetor de Perron de ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle \rho (A)}$ é frequentemente chamado de raiz de Perron de ${\displaystyle A}$. Obviamente, ${\displaystyle A^{T}}$ é uma matriz positiva se ${\displaystyle A}$ é positiva. Assim, o Teorema de Perron se aplica à matriz ${\displaystyle A^{T}}$ também. O vetor de Perron de ${\displaystyle A^{T}}$ é chamado de vetor de Perron à esquerda de ${\displaystyle A}$.^[5]

Caso com matrizes não-negativas e irredutíveis

Quando nos deparamos com matrizes não-negativas que não são positivas, é necessário considerar uma extensão do Teorema de Perron para o caso em que nem todas entradas da matriz são estritamente positivas. ^[5]

Teorema

Se ${\displaystyle A}$ é uma matriz quadrada e ${\displaystyle A\geq 0}$, então ${\displaystyle \rho (A)}$ é um autovalor de ${\displaystyle A}$ e existe um autovetor não-negativo ${\displaystyle x\geq 0}$, ${\displaystyle x\neq 0}$, tal que ${\displaystyle Ax=\rho (A)x}$.

Entretanto, sem hipóteses adicionais, não podemos ir muito além do teorema acima na generalização do Teorema de Perron para matrizes não-negativas.

Quando ${\displaystyle A\geq 0}$, o autovalor não-negativo ${\displaystyle \rho (A)}$ é chamado raiz de Perron de ${\displaystyle A}$. Visto que um autovetor associado com a raiz de Perron de uma matriz não-negativa não é necessariamente unicamente determinado (a menos quando ${\displaystyle A}$ é positiva), não existe uma noção bem determinada de o vetor de Perron para uma matriz não-negativa. Por exemplo, a matriz ${\displaystyle A=I}$ possui todo vetor não-negativo como um autovetor associado com a raiz de Perron ${\displaystyle \rho (A)=1}$. ^[5]

Agora, veremos como o Teorema de Perron se generaliza para matrizes não-negativas e irredutíveis. O nome de Frobenius é associado à generalização dos resultados de Perron sobre matrizes positivas para matrizes não-negativas segundo,^[5] pois os primeiros resultados para tais matrizes foram obtidas por Georg Frobenius em 1912.

Teorema de Perron-Frobenius

Se ${\displaystyle A}$ é uma matriz quadrada, não-negativa e irredutível, então,

• (a) ${\displaystyle \rho (A)>0}$
• (b) ${\displaystyle \rho (A)}$ é um autovalor de ${\displaystyle A}$
• (c) Existe um vetor ${\displaystyle x}$ positivo tal que ${\displaystyle Ax=\rho (A)x}$
• (d) ${\displaystyle \rho (A)}$ é um autovalor algebricamente (e, dessa forma, geometricamente) simples

O teorema garante que o autoespaço de uma matriz não-negativa e irredutível associado com a raiz de Perron é unidimensional. Para uma matriz não-negativa e irredutível, o único autovetor positivo normalizado também é chamado de vetor de Perron. ^[5]

Ver também

• Operador positivo
• Matriz Hermitiana

Referências

• Portal da matemática