Transformada de Laplace bilateral

Em matemática, a transformada de Laplace bilateral é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, a transformada de Mellin e a transformada de Laplace. Se ƒ(t) é uma função de uma variável real t definida para todos os números reais, a transformada de Laplace bilateral é definida pela integral

${\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Essa integral é frequentemente uma integral imprópria, que converge se e somente se cada uma das integrais

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt}$

existir. Alguns autores usam a notação alternativa

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Em aplicações de física e engenharia, a função original geralmente tem como variável independente o tempo (t), e ${\displaystyle f(t)}$ representa um sinal que varia no tempo. A função transformada tem como variável independente a frequência real (ω) ou a frequência complexa (s), e ${\displaystyle F(s)}$ ou ${\displaystyle F(}$ω${\displaystyle )}$ são os componentes desse sinal em cada frequência.

Em aplicações de estatística, a função original geralmente é a densidade de probabilidade de uma distribuição, e a função transformada, os momentos dessa distribuição.

Relação com outras transformadas integrais

Sendo u(t) a função degrau de Heaviside, que é igual a zero quando t é menor que zero, ${\displaystyle 1/2}$ quando t é igual a zero, e 1 quando t é maior que zero, a transformada de Laplace ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ pode ser definida a partir da transformada de Laplace bilateral por

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.}$

Por outro lado, também temos que

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{{\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s)}$

Assim, cada uma das versões da transformada de Laplace pode ser definida a partir da outra.

A transformada de Mellin pode ser definida em termos da transformada de Laplace bilateral por

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)}$

e, inversamente, pode-se obter a transformada de Laplace bilateral a partir da transformada de Mellin por meio da expressão

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).}$

A transformada de Fourier também pode ser definida a partir da transformada de Laplace bilateral, por meio da expressão

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).}$

Note-se que existem definições alternativas da transformada de Fourier. Em particular, a forma

${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)}$

é frequentemente usada.

Também é possível obter a transformada de Laplace bilateral a partir da transformada de Fourier, através da expressão

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).}$

Note-se que transformada de Fourier é normalmente definida de forma a existir para valores reais. A definição acima define ${\displaystyle F(s)}$ em uma faixa ${\displaystyle a<\Im (s)<b}$ que pode não incluir o eixo real.

Propriedades

Para quaisquer duas funções ${\textstyle f,g}$ para as quais a transformada bilateral de Laplace ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\},{\mathcal {T}}\{g\}}$ existam, se ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}={\mathcal {T}}\{g\}}$ e ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}(t)={\mathcal {T}}\{g\}(t)}$para todo valor de ${\textstyle t\in \mathbb {R} ,}$ ${\textstyle f=g}$ quase sempre.

Propriedades da transformada unilateral de Laplace

	Dominio de tempo	Domínio unilateral-'s'	Domínio bilateral-'s'
Derivada	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0)\ }$	${\displaystyle sF(s)\ }$
Derivada de segunda ordem	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\ }$	${\displaystyle s^{2}F(s)\ }$

Região de convergência

Os requisitos para convergência da transformada bilateral são mais difíceis do que para transformações unilaterais. A região de convergência normalmente será menor.

Se f é uma função localmente integrável (ou mais geralmente uma medida local de Borel de variação limitada), então a transformada de Laplace F(s) de f converge desde que o limite

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}dt}$

exista. A transformada de Laplace converge absolutamente se a integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(t)e^{-st}|dt}$

existe (como uma integral de Labesgue adequada). A transformada de Laplace é geralmente entendida como condicionalmente convergente.

O conjunto de valores para os quais F(s) converge absolutamente é da forma Re(s) > a ou Re(s) ≥ a, onde ''a'' é uma constante real estendida, −∞ ≤ a ≤ ∞. (Isso segue do teorema da convergência dominada.) A constante ''a'' é conhecida como a abcissa da convergência absoluta e depende do comportamento de crescimento de f(t). Analogamente, a transformada bilateral converge absolutamente em uma faixa da forma a < Re(s) < b, e possivelmente incluindo as linhas Re(s) = a ou Re(s) = b. O subconjunto de valores de s para os quais a transformada de Laplace converge absolutamente é chamado de região de convergência absoluta ou domínio de convergência absoluta. No caso bilateral, às vezes é chamada de faixa de convergência absoluta. A transformada de Laplace é analítica na região de convergência absoluta.^[1]

Da mesma forma, o conjunto de valores para os quais F(s) converge (condicionalmente ou absolutamente) é conhecido como região de convergência condicional, ou simplesmente região de convergência. Se a transformada de Laplace converge (condicionalmente) em ${\displaystyle s=s_{0}}$, então ela converge automaticamente para todos os s com Re(s) > Re (${\displaystyle s_{0}}$). Portanto, a região de convergência é um meio plano da forma Re(s) > a, possivelmente incluindo alguns pontos da linha limite Re(s) = a. Na região de convergência Re(s) > Re(${\displaystyle s_{0}}$), a transformada de Laplace de f pode ser expressa por integração por partes como a integral

${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)dt}$, ${\displaystyle \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)dt}$.

Ou seja, na região de convergência F(s) pode ser efetivamente expressa como a transformada de Laplace absolutamente convergente de alguma outra função. Em particular, é analítica.

Existem vários teoremas de Paley-Wiener relativos à relação entre as propriedades de decaimento de f e as propriedades da transformada de Laplace na região de convergência.

Em aplicações de engenharia, uma função correspondente a um sistema linear invariante no tempo é estável se cada entrada limitada produz uma saída limitada.

Causalidade

As transformações bilaterais não respeitam a causalidade. Elas fazem sentido quando aplicados sobre funções genéricas, mas quando se trabalha com funções de tempo (sinais), as transformações unilaterais são preferidas.

Ver também

• Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier

Referências

• LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987
• Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923.

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