Factorial

În matematică factorialul unui număr întreg pozitiv n, notat cu n!, este egal cu produsul numerelor naturale mai mici sau egale cu n. Este o funcție numerică discretă și o operație unară (cu un singur operand). Este întâlnit în combinatorică și în alte formule matematice cum ar fi coeficienții din binomul lui Newton sau formula lui Taylor.

Exemple:

${\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\ }$

${\displaystyle 0!=1\ }$ (caz special stipulat prin definiție)

Factorialul unui număr oarecare n indică numărul de permutări (numărul de posibilități de rearanjare) ale unei mulțimi finite având n elemente.

Poate fi aproximat prin formula lui Stirling.

Definiție

Funcția factorial este definită de:

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\!}$

sau, recursiv, de:

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{, }}n=0,\\(n-1)!\times n&{\text{, }}n>0.\end{cases}}}$

Suma inverselor factorialelor

Suma inverselor factorialelor numerelor de la 0 la n, când n tinde spre infinit, este egală cu constanta e:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{n!}}=\mathrm {e} =2,718\,281\,828\,459\ldots }$

Aceasta este o consecință a dezvoltării în serie Maclaurin a funcției exponențiale:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$.

pentru cazul particular ${\displaystyle x=1}$.^[2]

Note

Vezi și

• Listă de numere
• Enumerarea grafurilor
• Multimulțime
• Combinare
• Factorial prim

Legături externe

• Calculul de la factorialul (N≤40000)