Tejlorov polinom

Kako stepen Tejlorovog polinoma raste, on se sve više približava funkciji koju aproksimira. Slika pokazuje funkciju sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} i Tejlorove aproksimacije polinomom razvijenog do sledećih redova stepenima 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13.

Tejlorov polinom za neku funkciju f ( x ) {\displaystyle f(x)} i datu tačku a {\displaystyle a} je definisan na sledeći način:

T n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + … + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n = ∑ k = 0 n ( f k ( a ) k ! ( x − a ) k ) {\displaystyle T_{n}(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {f^{k}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\right)}

Tejlorovim ostatkom R n a ( x ) {\displaystyle R_{n}^{a}(x)} polinoma nazivamo deo za koji se razlikuje funkcija i Tejlorov polinom, tj. grešku koja se pri takvoj aproksimaciji funkcije polinomom pravi, i on iznosi:

R n a ( x ) = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t {\displaystyle R_{n}^{a}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt}

Tako se svaka funkcija može predstaviti kao zbir odgovarajućeg Tejlorovog polinoma za tačku a {\displaystyle a} koju smo mi sami izabrali i greške koju smo napravili tom aproksimacijom:

f ( x ) = T n ( x ) + R n ( x ) {\displaystyle f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)}

Vidi još

  • Tejlorova formula
  • Maklorenova formula
  • Tejlorov red

Literatura

  • Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.
 Ovaj članak o matematici je u začetku. Možete pomoći Wikipediji tako što ćete ga proširiti.