Kvotrum (linjär algebra)

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-08)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

I linjär algebra är kvotrummet av ett vektorrum V med ett delrum W ett nytt vektorrum som erhålls genom att identifiera W med noll och vars element är sidoklasser till W Detta rummet kallas kvotrummet och betecknas V / W.

Definition

Låt V vara ett vektorrum över en kropp K och W ett delrum av V. Sidoklassen till W ⊆ {\displaystyle \subseteq } V definieras som x + W = { x + w : w ∈ W } {\displaystyle x+W=\{x+w:w\in W\}} .

Vi definierar också en ekvivalensrelation ∼ {\displaystyle \sim } på V där x ∼ y {\displaystyle x\sim y} (eller [ x ] = [ y ] {\displaystyle [x]=[y]} om x − y ∈ W {\displaystyle x-y\in W} .

Kvotrummet V / W {\displaystyle V/W} är då ett vektorrum vars element är sidoklasser till W och addition och multiplikation är 


  
    
      
        (
        x
        +
        W
        )
        +
        (
        y
        +
        W
        )
        =
        (
        x
        +
        y
        )
        +
        W
      
    
    {\displaystyle (x+W)+(y+W)=(x+y)+W}
  


   
  
    
      
        a
        (
        x
        +
        W
        )
        =
        a
        x
        +
        W
      
    
    {\displaystyle a(x+W)=ax+W}