Mertensfunktionen

Mertensfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion, som uppkallats efter den polske matematikern Franz Mertens, och som definieras enligt:

M ( n ) = ∑ k = 1 n μ ( k ) {\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}

där μ(n) är möbiusfunktionen. Eftersom möbiusfunktionen bara antar värden -1, 0 och 1 kan M(n) aldrig vara större än n.

Representationer

Integralrepresentationer

Genom att använda Eulerprodukten får man

1 ζ ( s ) = ∏ p ( 1 − p − s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}

där ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} är Riemanns zetafunktion och produkten är över alla primtal. Sedan får man med Perrons formel

1 2 π i ∮ C x s s ζ ( s ) d s = M ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x)}

där C är en sluten kurva som går runt alla rötter av ζ ( s ) . {\displaystyle \zeta (s).}

Som ett korollarium får man Mellintransformationen

1 ζ ( s ) = s ∫ 1 ∞ M ( x ) x s + 1 d x {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx}

som gäller för R e ( s ) > 1. {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1.}

Som en summa över Fareyfraktioner

En annan formel för Mertensfunktionen är

M ( n ) = ∑ a ∈ F n e 2 π i a {\displaystyle M(n)=\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}}   där   F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}   är Fareyföljden av ordning n.

Denna formel används i beviset av Franel–Landaus sats.

Relation till andra funktioner

Mertens gav en relation mellan Mertensfunktionen och Tjebysjovs andra funktion:

ψ ( x ) = M ( x 2 ) log ⁡ ( 2 ) + M ( x 3 ) log ⁡ ( 3 ) + M ( x 4 ) log ⁡ ( 4 ) + ⋯ . {\displaystyle \psi (x)=M\left({\frac {x}{2}}\right)\log(2)+M\left({\frac {x}{3}}\right)\log(3)+M\left({\frac {x}{4}}\right)\log(4)+\cdots .}

Se även