Rindlerkoordinater

Inom relativistisk fysik är Rindlerkoordinater en viktig och användbar avbildning som föreställer en del av platt rumtid, även kallad Minkowski vakuum. Rindler-atlasen introducerades av Wolfgang Rindler. Rindlers koordinatsystem eller -ram beskriver en likformigt accelereraande referensram i Minkowski-rummet. I speciella relativitetsteorin, utför en likformigt accelererande partikel en hyperbolisk rörelse. För varje sådan partikel kan en Rindler-ram väljas, i vilken den befinner sig i vila.

Samband med kartesiska koordinater

För att åstadkomma en Rindler-avbildning, kan man starta med kartesiska koordinaterna

d s 2 = − d T 2 + d X 2 + d Y 2 + d Z 2 , − ∞ < T , X , Y , Z < ∞ {\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2},\;\;-\infty <T,X,Y,Z<\infty }

I området 0 < X < ∞ , − X < T < X {\displaystyle 0<X<\infty ,\;-X<T<X} , som ibland kallas för Rindlers kil, definieras den nya avbildningen med hjälp av koordinattransformationen

t = arctanh ⁡ ( T / X ) , x = X 2 − T 2 , y = Y , z = Z {\displaystyle t=\operatorname {arctanh} (T/X),\;x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\;y=Y,\;z=Z}

Den inversa transformationen

T = x sinh ⁡ ( t ) , X = x cosh ⁡ ( t ) , Y = y , Z = z {\displaystyle T=x\,\sinh(t),\;X=x\,\cosh(t),\;Y=y,\;Z=z}

I Rindlerkoordinater konverteras Minkowskis linjeelement till

d s 2 = − x 2 d t 2 + d x 2 + d y 2 + d z 2 , 0 < x < ∞ , − ∞ < t , y , z < ∞ {\displaystyle ds^{2}=-x^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;0<x<\infty ,-\infty <t,y,z<\infty }

I ekvationen är ljushastigheten satt c = 1. För att hitta avståndet till Rindler-horisonten är den oförenklade ekvationen bättre lämpad, givet accelerationen g:

t = c g arctanh ⁡ ( c T X ) ≈ X ≫ c T c 2 T g X X ≈ c 2 T g t ≈ T ≈ t c 2 g {\displaystyle {\begin{aligned}t&={\frac {c}{g}}\operatorname {arctanh} \left({\frac {cT}{X}}\right)\;{\overset {X\,\gg \,cT}{\approx }}\;{\frac {c^{2}T}{gX}}\\X&\approx {\frac {c^{2}T}{gt}}\;{\overset {T\,\approx \,t}{\approx }}\;{\frac {c^{2}}{g}}\end{aligned}}}

Tillämpningar

Rindlerkoordinater har kommit till användning bland annat för att beskriva Milne-modellen och Unruh-effekten.

Referenser

  • Boothby, William M. (1986). An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. New York: Academic Press. ISBN 0-12-116052-1  Chapter 4 ger bakgrund till vektorfält på jämna mångfalder.
  • Rindler, Wolfgang (2001). Relativity: Special, General and Cosmological. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-850836-0 
  • Barceló, Carlos; Liberati, Stefano; and Visser, Matt. ”Analogue Gravity”. Living Reviews in Relativity. Arkiverad från originalet den 22 februari 2012. https://www.webcitation.org/65eR7W9tu?url=http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2005-12/index.html. Läst 11 december 2013.