Symmetrisk grupp

Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M, d. v. s. bijektiva avbildningar från M till sig själv, med funktionssammansättning som gruppoperator.

De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalitet är isomorfa. Man talar därför om den symmetriska gruppen på n element, och betecknar denna med Sn. Sn har n! element. Endast för n ≤ 2 är Sn abelsk.

För alla n ≥ 3, n ≠ 4 har Sn endast en icke-trivial normal delgrupp, den alternerande gruppen An, bestående av de jämna permutationerna. Gruppen S4 har dessutom den normala delgruppen Kleins fyragrupp.

Cayleys sats säger att varje grupp G är isomorf med en delgrupp till Sym(G) genom avbildningen g ↦ ( h ↦ g h ) {\displaystyle g\mapsto (h\mapsto gh)} .

Symmetriska grupperna är viktiga i flera matematiska områden, såsom Galoisteori, invariantteori, representationsteorin av Liegrupper och kombinatorik.

Notation

En permutation f av en ändlig mängd M kan noteras som en tabell, där första raden är en listning av M och andra raden består av bilderna av motsvarande element på första raden.

[ x 1 x 2 … x n f ( x 1 ) f ( x 2 ) … f ( x n ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\f(x_{1})&f(x_{2})&\dots &f(x_{n})\end{bmatrix}}}

En annan notation är den så kallade cykliska notationen, där varje element skrivs som en produkt av cykler

( x   f ( x )   f 2 ( x )   …   f n − 1 ( x ) ) {\displaystyle (x\ f(x)\ f^{2}(x)\ \dots \ f^{n-1}(x))}

där f n ( x ) = x {\displaystyle f^{n}(x)=x} . Cykler av längd ett brukar utelämnas som underförstådda.

Exempel: [ 1 2 3 4 5 6 1 3 5 6 2 4 ] = ( 2 3 5 ) ( 4 6 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&3&5&6&2&4\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&6\end{pmatrix}}} .

Nedan ges en listning av alla element i S 3 {\displaystyle S_{3}} i de båda notationerna.

[ 1 2 3 1 2 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}}}

[ 1 2 3 2 1 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}}}

[ 1 2 3 3 2 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{bmatrix}}}

[ 1 2 3 1 3 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{bmatrix}}}

[ 1 2 3 2 3 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}}}

[ 1 2 3 3 1 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}}}

()

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1 2 3)

(1 3 2)

Presentation

En presentation av den symmetriska gruppen Sn ges av generatorerna σ1, σ2, ..., σn-1 och relationerna:

  • σ i 2 = 1 {\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1\,}
  • σ i σ j = σ j σ i om     j ≠ i ± 1 {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\quad {\textrm {om}}~~j\neq i\pm 1}
  • σ i σ i + 1 σ i = σ i + 1 σ i σ i + 1 {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\,}